неравноточные измерения

[Александрович]

_hum_ в сообщении #768423 писал(а):

Хотелось бы увидеть это доказательство (если под эффективной понимается оценка, имеющая минимальную дисперсию в классе всех несмещенных).

$x_1, x_2,…,x_n$ - результаты измерения;

$ \sigma_1, \sigma_2, …,\sigma_n$ -ско.

$\widetilde{x}=w_1x_1+ w_2x_2+…+ w_n x_n$

$ \sum\limits_{i=1}^{n}w_i=1$

$\sigma^2_{\widetilde{x}}=w_1\sigma_1+ w_2\sigma_2+…+ w_n \sigma_n$

Функция Лагранжа с неопределённым множителем $k$:

$F=\sum\limits_{i=1}^{n}w_i^2\sigma_i^2-2k(\sum\limits_{i=1}^{n}w_i -1)=\min$

$\frac{\partial F}{\partial w_1}=2w_i\sigma_i^2-2k=0$

$w_i=\frac{k}{\sigma^2_i}$

$k=\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{\sigma_i^2}}$

$w_i=\frac{\frac{1}{\sigma^2_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{\sigma_i^2}}$

[Александрович]

Александрович в сообщении #768551 писал(а):

$\sigma^2_{\widetilde{x}}=w_1\sigma_1+ w_2\sigma_2+…+ w_n \sigma_n$

Здесь я по элементарной своей оплошности упустил двойку. Кому-то это очевидно и он поймёт, а вдруг набежит куча недругов?
Исправленное выражение:
$\sigma^2_{\widetilde{x}}=w_1\sigma_1^2+ w_2\sigma_2^2+…+ w_n \sigma_n^2$

Александрович в сообщении #768551 писал(а):

$\frac{\partial F}{\partial w_1}=2w_i\sigma_i^2-2k=0$

Это тоже описка, не дай Бог ухватится кто-то за неё и давай мордой меня по столу возить!
Исправил:
$\frac{\partial F}{\partial w_i}=2w_i\sigma_i^2-2k=0$

[--mS--]

Дисперсии у $x_i$ вовсе не $\sigma_i^2$. Рекомендую прочесть первое сообщение.

[Александрович]

AndreyL в сообщении #765254 писал(а):

Измеряется значение некоторой характеристики, предполагается, что оно подчиняется нормальному распределению с центром $a$ и дисперсией $\sigma_0^2$. Значение измеряется несколько раз, при этом точность каждого измерения разная. Предполагается, что ошибка $i$-го измерения подчиняется нормальному распределению с центром 0 и дисперсией $\sigma_i^2$, при этом $\sigma_i^2$ известны для всех $i$ и сопоставимы по порядку значений с $\sigma_0^2$.

--mS-- в сообщении #768628 писал(а):

Дисперсии у $x_i$ вовсе не $\sigma_i^2$.

Не одна что-ли?

[provincialka]

Может, я зря влезаю, но, кажется, дисперсия $i$-го измерения равна $\sigma_0^2+\sigma_i^2$. Здесь первое слагаемое отвечает за измеряемую величину, а второе - за погрешность измерения. Первое слагаемое неизвестно.

[Александрович]

provincialka в сообщении #768644 писал(а):

дисперсия $i$-го измерения равна $\sigma_0^2+\sigma_i^2$.

У единичного измерения нет дисперсии.

[provincialka]

Ну почему единичное, мы же рассматриваем его как случайную величину.

[--mS--]

Александрович в сообщении #768642 писал(а):

--mS-- в сообщении #768628 писал(а):

Дисперсии у $x_i$ вовсе не $\sigma_i^2$.

Не одна что-ли?

Если я правильно поняла Вашу грамотность, то да, ни одна из них.

-- Сб сен 28, 2013 20:29:05 --

Александрович в сообщении #768649 писал(а):

У единичного измерения нет дисперсии.

Потрясающе. Просветите тогда, кто у Вас вот это:

Александрович в сообщении #768572 писал(а):

$\sigma^2_{\widetilde{x}}=w_1\sigma_1^2+ w_2\sigma_2^2+…+ w_n \sigma_n^2$

[Александрович]

--mS-- в сообщении #768671 писал(а):

Потрясающе. Просветите тогда, кто у Вас вот это:

(Оффтоп)

Нравится подкалывать?

Александрович в сообщении #768649 писал(а):

provincialka в сообщении #768644 писал(а):

дисперсия $i$-го измерения равна $\sigma_0^2+\sigma_i^2$.

У единичного измерения нет дисперсии.

Извините, был не прав, вспылил. У единичного измерения есть дисперсия и даже не одна.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #768543 писал(а):

_hum_ в сообщении #768461 писал(а):

А как из нее можно увидеть, что функцию правдоподобия относительно параметров $a, d_0$ нельзя представить в нужном факторизационном виде со статистикой размерности меньше $n$?

Напрямую. Например, взять отношение при двух выборках и убедиться, что оно постоянно тогда и т.т., когда $X_{i,1}^2=X_{i,2}^2$ при всех $i$, и никогда больше.

А для распределения Коши, например, Вам такой факт известен? Доказывать его умеете? Так вот, для этого распределения все ровно так же.

Нет, не знал, но теперь, глянув Боровкова, уже более-менее представление о ситуации составил, спасибо. Правильно ли я понимаю, что из этого вытекает, что если эффективная оценка для $\theta = (a,d_0)$ и существует, то она будет (исходя из теоремы Рао-Блекуэла-Колмогорова) среди измеримых функций, биективно отображающих $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^2$? И кстати, есть ли какое-нибудь необходимое условие для существования этой самой эффективной оценки (теорема Лемана—Шеффе ведь дает, если не ошибаюсь, только достаточные условия)?

Александрович в сообщении #768551 писал(а):

_hum_ в сообщении #768423 писал(а):

Хотелось бы увидеть это доказательство (если под эффективной понимается оценка, имеющая минимальную дисперсию в классе всех несмещенных).

$x_1, x_2,…,x_n$ - результаты измерения;

$ \sigma_1, \sigma_2, …,\sigma_n$ -ско.

$\widetilde{x}=w_1x_1+ w_2x_2+…+ w_n x_n$

$ \sum\limits_{i=1}^{n}w_i=1$

$\sigma^2_{\widetilde{x}}=w_1\sigma_1+ w_2\sigma_2+…+ w_n \sigma_n$

Понятно. Значит, вы все-таки пытаетесь исходить из задачи поиска линейной оценки с минимальной дисперсией.

-- Сб сен 28, 2013 19:23:55 --

Хотя нет, из теоремы Рао-Блекуэла-Колмогорова ничего такого не вытекает...
Что же тогда дает нам знание того, что минимальная достаточная статистика имеет размерность $n$?

[Александрович]

_hum_ в сообщении #768692 писал(а):

Понятно...,Хотя нет...

А мне точно понятно, на трёх теоретиков приходится четыре мнения.

[_hum_]

Александрович, между прочим, вы так и не довели свое обоснование выбора оценки до конца.

[Александрович]

А что от меня ещё требуется?

[_hum_]

Александрович в сообщении #768719 писал(а):

А что от меня ещё требуется?

Во-первых, исправить

Александрович в сообщении #768572 писал(а):

$\sigma^2_{\widetilde{x}}=w_1\sigma_1^2+ w_2\sigma_2^2+…+ w_n \sigma_n^2$

на правильное

$$\sigma^2_{\widetilde{x}} = w_1(\sigma_0^2 + \sigma_1^2) + w_2(\sigma_0^2 +\sigma_2^2)+…+ w_n (\sigma_0^2 + \sigma_n^2)$ $

и убедиться, что ваша формула тогда не получается, а значит, обоснование выбора соответствующей оценки проваливается.

А во-вторых, предложить другое обоснование, или признать, что ваша оценка взята "с потолка" и ничем не выделяется среди других несмещенных состоятельных оценок (того же обычного выборочного среднего).

[--mS--]

_hum_ в сообщении #768692 писал(а):

И кстати, есть ли какое-нибудь необходимое условие для существования этой самой эффективной оценки (теорема Лемана—Шеффе ведь дает, если не ошибаюсь, только достаточные условия)?

Хотя нет, из теоремы Рао-Блекуэла-Колмогорова ничего такого не вытекает...
Что же тогда дает нам знание того, что минимальная достаточная статистика имеет размерность $n$?

Даёт основания полагать, что эффективной оценки не существует.
Есть теорема у Лемана в "Теории точечного оценивания" (теорема 1.1 главы 2), с помощью которой (видимо) там же предлагается (см. окончание примера 2.3) доказать несуществование таковой оценки для двух наблюдений. И там же куча ссылок. Но пользоваться таковой теоремой или каким-то иным путём доказывать несуществование несмещённой оценки для матожидания с равномерно минимальной дисперсией я не умею.

-- Вс сен 29, 2013 01:44:11 --

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #768749 писал(а):

Во-первых, исправить

Александрович в сообщении #768572 писал(а):

$\sigma^2_{\widetilde{x}}=w_1\sigma_1^2+ w_2\sigma_2^2+…+ w_n \sigma_n^2$

на правильное

$$\sigma^2_{\widetilde{x}} = w_1(\sigma_0^2 + \sigma_1^2) + w_2(\sigma_0^2 +\sigma_2^2)+…+ w_n (\sigma_0^2 + \sigma_n^2)$$

И даже это ещё неправильное, за этим товарищем глаз да глаз. Он выше ещё квадраты потерял при переписывании. Правильное

$$\sigma^2_{\widetilde{x}} = w_1^2(\sigma_0^2 + \sigma_1^2) + w_2^2(\sigma_0^2 +\sigma_2^2)+…+ w_n^2 (\sigma_0^2 + \sigma_n^2)$$