Задача по динамике, блоки. Помогите найти ошибку.

[Pripyat]

Условие: Конструкция механической системы показана на рисунке. В результате начального толчка груз массы $m_1$ начал двигаться вверх и на расстоянии $h=0,49 м$ от точки наивысшего подъёма побывал дважды через интервал времени $\tau=2,0 с$. Определите отношение масс грузов $\frac{m_1}{m_2}$. Массами всех элементов конструкции, кроме грузов пренебречь. Трение отсутствует. Нити нерастяжимы.


Решение:
Пусть $T_1$ - сила натяжения нити неподвижного блока, а $T_2$ - сила натяжения нити подвижного блока. Груз $m_1$ толкнули верх, он поднялся на высоту и стал опускаться. Значит ускорение груза $m_1$ направлено вниз. Ускорение груза $m_2$ направлено верх, причём $a_1=2a_2$ (или $a_1=2a; a_2=a$).
Тогда $\Bigg\{ \begin{matrix} m_1g-T_1=2m_1a \\ T_2-m_2g=m_2a \\ T_1=2T_2 \end{matrix}}$ или $\Bigg\{ \begin{matrix} m_1g-2T_2=2m_1a \\ 2T_2-2m_2g=2m_2a \end{matrix}}$.

Отсюда $a=\frac{m_1-2m_2}{2(m_1+m_2)}\cdot g$.
Груз $m_1$ поднимался и опускался одинаковое количество времени $\tau/2$.
Тогда $h = \frac{a(\tau/2)^2}{2} = \frac{a\tau^2}{8}$. Значит $a=\frac{8h}{\tau^2}$
Тогда $a=\frac{m_1-2m_2}{2(m_1+m_2)}\cdot g=\frac{8h}{\tau^2}$
$\frac{m_2(\frac{m_1}{m_2}-2)}{2m_2(\frac{m_1}{m_2}+1)}\cdot g=\frac{8h}{\tau^2}$
$(\frac{m_1}{m_2}-2)g\tau^2=16h(\frac{m_1}{m_2}+1)$
$\frac{m_1}{m_2}\cdot g\tau^2-\frac{m_1}{m_2}\cdot 16h = 2g\tau^2+16h$
$\frac{m_1}{m_2}=\frac{2(g\tau^2+8h)}{g\tau^2-16h}$.

Но в ответе $\frac{m_1}{m_2}=\frac{2(g\tau^2+16h)}{g\tau^2-8h}=2,7$.

Помогите пожалуйста найти ошибку.

[ewert]

Pripyat в сообщении #768655 писал(а):

Отсюда $a=\frac{m_1-2m_2}{2(m_1+m_2)}\cdot g$.

$a=\dfrac{m_1-2m_2}{m_1+4m_2}\cdot g$. Вообще не надо было расписывать силы. Если $y$ -- координата первого груза (отсчитываемая вверх) и $v$ -- его скорость, то, очевидно, суммарная потенциальная энергия (с точностью до константы) есть $m_1gy-2m_2gy$ и суммарная кинетическая энергия $\dfrac{m_1v^2}2+\dfrac{m_2(2v)^2}2$. Соответственно, полная энергия есть $(m_1-2m_2)gy+\dfrac{(m_1+4m_2)v^2}2$, что в точности соответствует движению некоего тела вот с тем самым ускорением.

Дальше тоже некоторое занудство. Надо было обозначить, скажем, $\theta=\dfrac{m_1}{m_2}$ и $\beta=\dfrac{a}g$, после чего решать относительно $\theta$ простенькое уравнение $\dfrac{\theta-2}{\theta+4}=\beta$. После чего можно при желании и выражение для $\beta$ в готовый ответ подставить, но надёжнее подставлять туда заранее вычисленное численное значение $\beta$.

[Pripyat]

Спасибо, но очень бы хотелось найти ошибку именно в моих рассуждениях, тем более что задача дана в задачнике до изучения механической энергии, т.е. подразумевается именно решение такого плана.

[ewert]

Ну просто где-то двойку поставили не там, где надо, а вовсе наоборот. Вот и ищите сами, где конкретно; в конце-то концов, Вы же уже знаете, что именно надо искать.

[Titeka]

Ускорение второго тела не меньше в 2 раза, а наоборот больше в 2 раза ускорения первого тела.