Колобок и масло

[zircon63]

Колобок, желая полакомиться подсолнечным маслом из бочонка, свалился туда и через $\Delta t=2$c достиг дна. Масса Колобка $m=0.2 кг$, плотность его в 1,05 раза больше плотности масла, а сила сопротивления при перемещении Колобка в масле $\vec{F}=-\beta \vec{V}$, $\beta $= 0,1 кг/c. Оценить высоту бочонка H, если он был
залит до краёв.

Наброски.

Запишем 2 закон Ньютона:
$m\frac{dV}{dt}=-F_c-F_A+mg \\ m\frac{dV}{dt}=-\beta V-\rho _mgV_k+mg \\ m\frac{dV}{dt}=\frac{mg}{21}-\beta V$
Как дальше проинтегрировать?

[Munin]

Вам курс ОДУ (обнакнавенных дифференциальных уравнений) читали?

[zircon63]

Я на первом курсе еще ничего не рассказали, а уже задали решать такие задачи:(

-- 27.09.2013, 22:31 --

Вот что я сделал:
$m\frac{dV}{dt}=\frac{mg}{21}-\beta V \\ m\frac{dV}{dt}+\beta V=\frac{mg}{21} \\ mgdt=21mdV+21\beta Vdt\\ dt=\frac{21mdV}{mg-21\beta V}\\ \int_{0}^{t}dt'= \int_{0}^{V(t)}\frac{21mdV}{mg-21\beta V}\\ V(t)=\frac{mg}{21\beta}-\frac{1}{\beta }e^{-\frac{\beta t}{m}}$

[Munin]

Тогда подбором. И вообще, не зазорно будет спросить преподавателя. В школьную программу это не входит.

Подсказка: какое было бы решение, если бы у вас было уравнение $m\dfrac{dV}{dt}=-\beta V$?

[Ms-dos4]

Изучайте ДУ самостоятельно. Во всяком случае научится решать ЛДУ с постоянными коэффициентами сможет каждый. А для первого порядка проблем нет даже с переменными коэффициентами. В общем случае ЛДУ 1-го порядка имеет вид
$\[y' + g(x)y = f(x)\]$
Умножая обе части на $\[{e^{\int {g(x)dx} }}\]$ вы получаете слева полную производную, после чего уравнение легко интегрируется и окончательно имеете

$\[y = {e^{ - \int {g(x)dx} }}(C + \int {f(x){e^{\int {g(x)dx} }}dx} )\]$

Константу определяете из начальных условий.

[Munin]

А что, вроде, всё верно...

-- 27.09.2013 22:50:57 --

Я что-то и не заметил, что оно разделяется, а вы справились. Молодец!

[zircon63]

$m\frac{dV}{dt}=-\beta V \\ \int_{V_0}^{V(t)}m\frac{dV}{V}=\int_{0}^{t}-\beta dt' \\ mln(\frac{V(t)}{V_0})=-\beta t \\ V(t)=V_0e^{-\frac{-\beta t}{m}}$
Вроде так получается.
Правильно ли я проинтегрировал то уравнение?

[Munin]

У меня получается
$V=\dfrac{mg}{21\beta}-\dfrac{mg}{21\beta}e^{-\frac{\beta t}{m}}$
Где-то вы при взятии интеграла поленились. Не делайте в уме то, что не получается делать в уме гарантированно без ошибок. Лучше потратьте немного бумаги и чернил, зато будете уверены в результате. (Или, сможете потом найти ошибку :-) )

-- 27.09.2013 23:01:31 --

Второе - да, правильно.

У вас ещё при переписывании огрехи лезут: лишние минусы, например. Старайтесь делать выкладки внимательно. Ошибки накапливаются как снежный ком, и при более-менее серьёзных вычислениях приводят к результату, не лезущему ни в какие ворота.

-- 27.09.2013 23:03:26 --

И ещё. Цифру 21 вы, конечно, ловко нашли, но всё-таки таскать за собой цифру по выкладкам некрасиво. Обозначьте её какой-нибудь буквой, $k,$ например.

[zircon63]

Munin в сообщении #768496 писал(а):

У меня получается
$V=\dfrac{mg}{21\beta}-\dfrac{mg}{21\beta}e^{-\frac{\beta t}{m}}$
Где-то вы при взятии интеграла поленились. Не делайте в уме то, что не получается делать в уме гарантированно без ошибок. Лучше потратьте немного бумаги и чернил, зато будете уверены в результате. (Или, сможете потом найти ошибку )

-- 27.09.2013 23:01:31 --

Второе - да, правильно.

У вас ещё при переписывании огрехи лезут: лишние минусы, например. Старайтесь делать выкладки внимательно. Ошибки накапливаются как снежный ком, и при более-менее серьёзных вычислениях приводят к результату, не лезущему ни в какие ворота.

-- 27.09.2013 23:03:26 --

И ещё. Цифру 21 вы, конечно, ловко нашли, но всё-таки таскать за собой цифру по выкладкам некрасиво. Обозначьте её какой-нибудь буквой, $k,$ например.

Спасибо большое учту свои недочеты!:) Очень благодарен!

[Munin]

zircon63 в сообщении #768478 писал(а):

Вот что я сделал:
...
$V(t)=\frac{mg}{21\beta}-\frac{1}{\beta }e^{-\frac{\beta t}{m}}$

Munin в сообщении #768496 писал(а):

У меня получается
$V=\dfrac{mg}{21\beta}-\dfrac{mg}{21\beta}e^{-\frac{\beta t}{m}}$

Ещё у меня лучше размерности :-) Если $mg/\beta$ имеет размерность скорости, то со вторым слагаемым у вас что-то не то, поскольку экспонента безразмерна. Проверяйте собственные выкладки любыми способами перекрёстного контроля, и "математическими", и "физическими". Причём для больших и сложных выкладок - не только в самом конце, но и в промежуточных точках.

[ewert]

(Оффтоп)

там он даже без трения-то всего лишь метр пролетит, а уж с трением-то... -- таких колобков не бывает