2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 20:53 
Аватара пользователя


10/11/12
37
Колобок, желая полакомиться подсолнечным маслом из бочонка, свалился туда и через $\Delta t=2$c достиг дна. Масса Колобка $m=0.2 кг$, плотность его в 1,05 раза больше плотности масла, а сила сопротивления при перемещении Колобка в масле $\vec{F}=-\beta \vec{V}$, $\beta $= 0,1 кг/c. Оценить высоту бочонка H, если он был
залит до краёв.

Наброски.
Изображение
Запишем 2 закон Ньютона:
$m\frac{dV}{dt}=-F_c-F_A+mg \\
m\frac{dV}{dt}=-\beta V-\rho _mgV_k+mg \\
m\frac{dV}{dt}=\frac{mg}{21}-\beta V$
Как дальше проинтегрировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вам курс ОДУ (обнакнавенных дифференциальных уравнений) читали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 21:24 
Аватара пользователя


10/11/12
37
Я на первом курсе еще ничего не рассказали, а уже задали решать такие задачи:(

-- 27.09.2013, 22:31 --

Вот что я сделал:
$m\frac{dV}{dt}=\frac{mg}{21}-\beta V \\
m\frac{dV}{dt}+\beta V=\frac{mg}{21} \\
mgdt=21mdV+21\beta Vdt\\
dt=\frac{21mdV}{mg-21\beta V}\\
\int_{0}^{t}dt'= \int_{0}^{V(t)}\frac{21mdV}{mg-21\beta V}\\
V(t)=\frac{mg}{21\beta}-\frac{1}{\beta }e^{-\frac{\beta t}{m}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тогда подбором. И вообще, не зазорно будет спросить преподавателя. В школьную программу это не входит.

Подсказка: какое было бы решение, если бы у вас было уравнение $m\dfrac{dV}{dt}=-\beta V$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 21:49 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Изучайте ДУ самостоятельно. Во всяком случае научится решать ЛДУ с постоянными коэффициентами сможет каждый. А для первого порядка проблем нет даже с переменными коэффициентами. В общем случае ЛДУ 1-го порядка имеет вид
$\[y' + g(x)y = f(x)\]$
Умножая обе части на $\[{e^{\int {g(x)dx} }}\]$ вы получаете слева полную производную, после чего уравнение легко интегрируется и окончательно имеете

$\[y = {e^{ - \int {g(x)dx} }}(C + \int {f(x){e^{\int {g(x)dx} }}dx} )\]$

Константу определяете из начальных условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А что, вроде, всё верно...

-- 27.09.2013 22:50:57 --

Я что-то и не заметил, что оно разделяется, а вы справились. Молодец!

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 21:55 
Аватара пользователя


10/11/12
37
$m\frac{dV}{dt}=-\beta V \\
\int_{V_0}^{V(t)}m\frac{dV}{V}=\int_{0}^{t}-\beta dt' \\
mln(\frac{V(t)}{V_0})=-\beta t \\
V(t)=V_0e^{-\frac{-\beta t}{m}}$
Вроде так получается.
Правильно ли я проинтегрировал то уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
У меня получается
$V=\dfrac{mg}{21\beta}-\dfrac{mg}{21\beta}e^{-\frac{\beta t}{m}}$
Где-то вы при взятии интеграла поленились. Не делайте в уме то, что не получается делать в уме гарантированно без ошибок. Лучше потратьте немного бумаги и чернил, зато будете уверены в результате. (Или, сможете потом найти ошибку :-) )

-- 27.09.2013 23:01:31 --

Второе - да, правильно.

У вас ещё при переписывании огрехи лезут: лишние минусы, например. Старайтесь делать выкладки внимательно. Ошибки накапливаются как снежный ком, и при более-менее серьёзных вычислениях приводят к результату, не лезущему ни в какие ворота.

-- 27.09.2013 23:03:26 --

И ещё. Цифру 21 вы, конечно, ловко нашли, но всё-таки таскать за собой цифру по выкладкам некрасиво. Обозначьте её какой-нибудь буквой, $k,$ например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 22:08 
Аватара пользователя


10/11/12
37
Munin в сообщении #768496 писал(а):
У меня получается
$V=\dfrac{mg}{21\beta}-\dfrac{mg}{21\beta}e^{-\frac{\beta t}{m}}$
Где-то вы при взятии интеграла поленились. Не делайте в уме то, что не получается делать в уме гарантированно без ошибок. Лучше потратьте немного бумаги и чернил, зато будете уверены в результате. (Или, сможете потом найти ошибку :-) )

-- 27.09.2013 23:01:31 --

Второе - да, правильно.

У вас ещё при переписывании огрехи лезут: лишние минусы, например. Старайтесь делать выкладки внимательно. Ошибки накапливаются как снежный ком, и при более-менее серьёзных вычислениях приводят к результату, не лезущему ни в какие ворота.

-- 27.09.2013 23:03:26 --

И ещё. Цифру 21 вы, конечно, ловко нашли, но всё-таки таскать за собой цифру по выкладкам некрасиво. Обозначьте её какой-нибудь буквой, $k,$ например.

Спасибо большое учту свои недочеты!:) Очень благодарен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
zircon63 в сообщении #768478 писал(а):
Вот что я сделал:
...
$V(t)=\frac{mg}{21\beta}-\frac{1}{\beta }e^{-\frac{\beta t}{m}}$
Munin в сообщении #768496 писал(а):
У меня получается
$V=\dfrac{mg}{21\beta}-\dfrac{mg}{21\beta}e^{-\frac{\beta t}{m}}$

Ещё у меня лучше размерности :-) Если $mg/\beta$ имеет размерность скорости, то со вторым слагаемым у вас что-то не то, поскольку экспонента безразмерна. Проверяйте собственные выкладки любыми способами перекрёстного контроля, и "математическими", и "физическими". Причём для больших и сложных выкладок - не только в самом конце, но и в промежуточных точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колобок и масло
Сообщение27.09.2013, 22:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

там он даже без трения-то всего лишь метр пролетит, а уж с трением-то... -- таких колобков не бывает

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group