Векторные/скалярные поля.

[chem_victory]

Доброго времени суток, граждане.

1)Есть векторное поле $\overrightarrow{F}(x,y,z).$
Можно ли его представить(думаю да), как сумму потенциального и соленоидального полей?

2) Преобразовать через набла $div(r(\overrightarrow{a},\overrightarrow{r})^5 \overrightarrow{r})$, a=const//постоянный вектор.
Буду рад увидеть варианты решения.

[Munin]

chem_victory в сообщении #768399 писал(а):

Можно ли его представить(думаю да), как сумму потенциального и соленоидального полей?

http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_разложения_Гельмгольца

chem_victory в сообщении #768399 писал(а):

Буду рад увидеть варианты решения.

Фигушки. На этом форуме не разрешена халява. Вы должны показать свои попытки решения, и указать конкретные проблемы, и тогда вам помогут и подскажут - но не дадут полного окончательного решения, его вы должны будете найти сами.

[_hum_]

Munin
В англоязычной Wiki требуется дважды непрывная дифференцируемость поля, а в русской нет. Кто прав?

И встречается ли где-нибудь в физике, чтобы условия теоремы не выполнялись?

[Oleg Zubelevich]

По сути утверждение вполне тривиальное. Задано векторное поле $v$.
Рассмотрим какое-нибудь решение уравнения $\Delta f=\mathrm{div}\, v$. Определим поле $w:=v-\nabla f$. Радуемся: $v=w+\nabla f$

[Munin]

_hum_ в сообщении #768439 писал(а):

В англоязычной Wiki требуется дважды непрывная дифференцируемость поля, а в русской нет. Кто прав?

Насколько я понимаю, теорема справедлива и в обобщённо-функциональном смысле, когда во вторых производных вылезают дельта-функции, так что можно обойтись без дважды дифференцируемости, но сложнее доказать.

Кроме того, обратите внимание на Hodge decomposition, это ещё более сильный результат. И красив как я не знаю что, собака.

_hum_ в сообщении #768439 писал(а):

И встречается ли где-нибудь в физике, чтобы условия теоремы не выполнялись?

Нет... только я хотел сказать "нет", как вспомнил, что в физике бывают условия с $\mathbb{R}^3$ за вычетом всяких линий - проводов, линий вихря и прочих сингулярностей. Вот если есть такие условия, то возникает заминка в том месте, что $\operatorname{div}\mathbf{F}_2=0\,\,\,\not\Rightarrow\,\,\,\exists\varphi\,\,\mathbf{F}_2=\operatorname{grad}\varphi.$ То есть, безвихревое поле можно ввести, но не факт, что оно будет потенциальным. В таком случае, надо пользоваться полной мощью Hodge decomposition. Впрочем, как легко заметить, в этом месте формулировки в англоязычной и в русскоязычной Wiki тоже отличаются.

-- 27.09.2013 21:37:45 --

Oleg Zubelevich в сообщении #768454 писал(а):

По сути утверждение вполне тривиальное. Задано векторное поле $v$.
Рассмотрим какое-нибудь решение уравнения $\Delta f=\mathrm{div}\, v$.

Нетривиален здесь факт существования и единственности такого решения.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #768456 писал(а):

Нетривиален здесь факт существования и единственности такого решения.

а с чего вы взяли, что оно единственно?

-- Пт сен 27, 2013 20:43:18 --

кстати, естественным языком для этой теоремы (как и для теоремы Ходжа) является язык пространств Соболева, это на счет гладкости

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #768458 писал(а):

а с чего вы взяли, что оно единственно?

Тьфу. Да, конечно. Просто существования. Но его ж тоже надо доказывать.

По пространствам Соболева quick & dirty tutorial подскажете?