Изучение математики = чтение справочника + решение задач ?

[DiscipleOfTheWatch]

Допустим, мне нужно выучить университетский курс математики (формально я его учил, но это было на "еле сдать и забыть"). Допустим, я страстно желаю таки нормально изучить матанализ, линал, диффуры, теорвер и т.п. чтобы лучше воспринимать физику. Что если просто взять справочник по математике в одну руку (например Т. и Г. Корны "Справочник по математике для научных работников и инженеров"), задачник в другую, и читать/решать? С одной стороны я пропущу многие математические теоремы, но с другой стороны, для понимания физики это ведь вроде бы и не страшно.
Краткое содержание справочника Корнов:

(Оффтоп)

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА 4. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
ГЛАВА 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ГЛАВА 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ГЛАВА 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛАВА 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ГЛАВА 11. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ГЛАВА 13. МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
ГЛАВА 14. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ
ГЛАВА 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
ГЛАВА 16. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
ГЛАВА 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ГЛАВА 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ГЛАВА 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
ГЛАВА 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

[Aritaborian]

А фигли там. Курс так называемой «высшей математики» кое-где так и построен: определения, формулы, задачи. Ни тебе теорем, ни тебе связей одного с другим, это вам не нужно, того вы не поймёте, кое-как задачи решать научились, ну и молодцы, ну и чёрт с вами. Вот и вы как-нибудь научитесь. Может быть.
Но если чуть серьёзнее, справочник (не, Корны хорошие, но всё же...) плюс задачник это как-то совсем хардкорно. Возьмите хоть пару учебников.
А ещё лучше — преподавателя.
Или хотя бы здесь, на форуме консультируйтесь.

[Munin]

DiscipleOfTheWatch в сообщении #768077 писал(а):

Допустим, мне нужно выучить университетский курс математики (формально я его учил, но это было на "еле сдать и забыть").

За какой факультет? Если за мехмат - то какая специальность? От этих вопросов объём курса может меняться до 10 раз, а направленность - ну, в тех же масштабах.

Корны на мехматовский курс математики не тянут. На технарско-инженерный - более-менее. Для понимания физики лучше брать не Корнов, а что-то к физике более приближенное.

[Aritaborian]

Munin, вы что, полагаете, что мехматовский курс можно вот так освоить

[Munin]

Я как раз намекаю, что нет :-)

-- 26.09.2013 23:43:59 --

(Оффтоп)

Впрочем, с меня взятки гладки: я-то его не освоил.

[provincialka]

Вообще этот вопрос надо задаватьтем, кто сам попробовал.

[DiscipleOfTheWatch]

Munin в сообщении #768136 писал(а):

DiscipleOfTheWatch в сообщении #768077 писал(а):

Допустим, мне нужно выучить университетский курс математики (формально я его учил, но это было на "еле сдать и забыть").

За какой факультет? Если за мехмат - то какая специальность? От этих вопросов объём курса может меняться до 10 раз, а направленность - ну, в тех же масштабах.

Корны на мехматовский курс математики не тянут. На технарско-инженерный - более-менее. Для понимания физики лучше брать не Корнов, а что-то к физике более приближенное.

Я не из России, учился в Беларуси в БГУ, факультет радиофизики.
Математика у нас была такой (я так понимаю, что это не очень много):

(Оффтоп)

Математический анализ

Теория пределов. Основы дифференциального исчисления. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его приложения. Формула Тейлора и исследование функций. Функции многих переменных. Кратные интегралы. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Теория рядов. Теория функций комплексной переменной.

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Элементы векторной алгебры. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и определители. Линейные пространства. Системы линейных уравнений. Линейные операторы. Билинейные и квадратичные формы. Евклидовы пространства. Элементы теории групп.

Дифференциальные уравнения

Уравнения первого порядка. Уравнения высших порядков и системы уравнений. Простейшие уравнения с частными производными. Линейные уравнения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка. Функция Грина. Линейные системы. Устойчивость решений. Понятие об асимптотических методах для дифференциальных уравнений, содержащих параметры. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление.

Теория вероятностей и математическая статистика

Основные понятия теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности. Условная вероятность и независимость событий. Последовательность независимых испытаний. Случайные величины и их характеристики. Законы больших чисел. Характеристическая функция. Центральные предельные теоремы. Конечные однородные цепи Маркова. Случайные процессы. Распределения Гаусса, Пирсона, Фишера, Стъюдента. Интервальные и точечные оценки. Задача проверки статистических гипотез. Достаточные статистики. Метод максимального правдоподобия. Регрессионный анализ. Планирование и анализ эксперимента.

Методы математической физики

Ряды и интегралы Фурье. Основные понятия операционного исчисления. Классификация уравнений с частными производными. Уравнения гиперболического типа. Уравнения параболического типа. Уравнения эллиптического типа. Интегральные уравнения с симметричными ядрами. Специальные функции.

Вместо Корнов что-нибудь посоветуете?

[Munin]

Кажется, этот курс выходит за пределы Корнов только в области вероятностей и статистики, а в них я не разбираюсь, поэтому ничего не посоветую.

Давайте лучше вот о чём:

DiscipleOfTheWatch в сообщении #768077 писал(а):

Допустим, я страстно желаю таки нормально изучить матанализ, линал, диффуры, теорвер и т.п. чтобы лучше воспринимать физику.

Какую именно физику вы хотите лучше воспринимать? Для радиофизики всего этого, полагаю, достаточно. Есть какие-то разделы физики, которые вы хотите копнуть ещё?

-- 27.09.2013 12:35:03 --

И ещё, может быть, здесь как раз подойдут те самые "сомнительные" книги Босса?

[DiscipleOfTheWatch]

Munin в сообщении #768258 писал(а):

Кажется, этот курс выходит за пределы Корнов только в области вероятностей и статистики, а в них я не разбираюсь, поэтому ничего не посоветую.

Давайте лучше вот о чём:

DiscipleOfTheWatch в сообщении #768077 писал(а):

Допустим, я страстно желаю таки нормально изучить матанализ, линал, диффуры, теорвер и т.п. чтобы лучше воспринимать физику.

Какую именно физику вы хотите лучше воспринимать? Для радиофизики всего этого, полагаю, достаточно. Есть какие-то разделы физики, которые вы хотите копнуть ещё?

-- 27.09.2013 12:35:03 --

И ещё, может быть, здесь как раз подойдут те самые "сомнительные" книги Босса?

Вообще, для начала, я бы хотел повторить курс общей физики (в духе учебников Савельева или Матвеева). Я подумываю о том, чтобы поступить в магистратуру, вот только куда именно, ещё не знаю. Возможно к себе на факультет, тогда скорее всего надо лучше разбираться в квантовой радиофизике, лазерах и т.п. Возможно куда-то ещё (есть знакомые в разных университетах за границей). Пока толком не знаю, но мне кажется, что придётся въезжать в квантовую механику.
Программа минимум - это курс общей физики. И давая мне советы, можете не опираться на курс математики моего университета, который я представил.

-- 27.09.2013, 13:03 --

Кстати, у меня была ещё такая мысль. Сразу начать с повторения физики, если формула непонятна, то читать соответствующий раздел в книге по математике. А затем, когда общий курс будет повторён, можно определиться с какой-то конкретной областью, и учить математику уже под эту область.

[Munin]

DiscipleOfTheWatch в сообщении #768272 писал(а):

Возможно к себе на факультет, тогда скорее всего надо лучше разбираться в квантовой радиофизике, лазерах и т.п.

О, вот квантовая физика - это существенно другой уровень. И математика существенно сложнее. Извините, я ошибся, я воспринял "радиофизику" как чисто классическую.

Квантовая физика имеет дело с бесконечномерными линейными пространствами (например, пространство функций), с линейной алгеброй в таких пространствах (векторы, базисы, преобразования базисов, линейные операторы - не путать с операционным исчислением!, их собственные векторы и собственные значения). Задачи решения линейных дифференциальных и интегральных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, представляются как задачи линейной алгебры (решение алгебраических уравнений вида $Ax=b,$ $(A-\lambda)x=0$). Причём, всё это в комплексных числах. Для этого нужен курс линейной алгебры, причём часто его недостаточно: в физике встречаются пара усложнений (комплексные числа), которые в стандартные математические учебники редко попадают. Кроме того, в физике часто используется своя собственная нотация (бра-кет обозначения = нотация Дирака). Так что, в любом случае, частично доучиваться придётся по учебнику физики.

Можно взять курс функционального анализа, но он, наоборот, "слишком мощный" для физики: в нём вводятся более строгие определения и теоремы, охватывающие всё с избытком, но большая часть нюансов для физики не нужна. Полезно разве что почитать про обобщённые функции и смысл дельта-функции Дирака.

Очень активно в квантовой физике используется теория функций комплексной переменной, в основном, для интегрирования на комплексной плоскости.

Особнячком стоит теория групп Ли и их представлений. Группы Ли - это группы, образующие непрерывные пространства, так что от одного элемента к другому можно переходить, как от точки к точке в искривлённом пространстве. Примером является группа вращений трёхмерного пространства, $SO(3).$ В физике используются самые начальные знания из этой теории, и можно даже прожить некоторое время без них, но для общей эрудиции познакомиться полезно.

Но всё это - пока "первый уровень" квантовой физики, такой как квантовая механика. Дальше идёт "второй уровень" квантовой физики - квантовая теория поля, квантовая электродинамика. Именно он требуется для фотонов, лазеров, квантовой радиотехники, квантовой оптики и т. п.

Здесь в качестве основной математической модели выступает бесконечномерное пространство функций, которые сами по себе заданы на бесконечномерном пространстве. (Достаточно, чтобы крыша поехала.) В целом, идеология сохраняется, основные отличия касаются самих этих функций на бесконечномерном пространстве. Для них надо разобраться, как происходит дифференцирование и интегрирование, и прочие привычные операции. Раньше это выделяли в отдельный раздел математики - вариационное исчисление. Потом осознали, что лучше опираться на сходства, чем на отличия конечномерного и бесконечномерного случая. Изучить все эти вопросы позволит курс функционального анализа. (Может быть, сюда же теория меры, дифференциальная геометрия.)

В конечном счёте, квантовая теория поля доходит до такого математического понятия, которое математики ещё не в силах сформулировать строго - до (фейнмановского) интеграла по траекториям. Физики этим понятием пользуются, и проводят расчёты, а математики считают, что в основаниях этого понятия не хватает существенных кирпичиков, и в некотором смысле его вообще "не существует", а расчёты просто бессмысленны. Кроме того, непосредственно для расчётов тоже используется техника, которая больше знакома физикам, чем математикам - фейнмановские диаграммы. Так что, этот математический аппарат в любом случае придётся изучать по учебникам физики, а не математики.

Замечание ко всему вышеперечисленному: современные математические учебники по ряду разделов написаны на новом языке - на языке теории категорий. С этим вы можете столкнуться в учебниках по функциональному анализу, по дифференциальной геометрии, по группам Ли и их представлениям. Так что, познакомиться с теорией категорий может оказаться необходимо для чтения математических текстов. Физика пока в целом обходится без этого языка, хотя иногда он в физике бывает полезен. Краткие введения в теорию категорий есть в некоторых учебниках по функциональному анализу и по дифференциальной геометрии и топологии - достаточные, чтобы понимать текст учебника.

DiscipleOfTheWatch в сообщении #768272 писал(а):

я бы хотел повторить курс общей физики (в духе учебников Савельева или Матвеева)

DiscipleOfTheWatch в сообщении #768272 писал(а):

Программа минимум - это курс общей физики.

Курс общей физики - это остро недостаточно. Квантовая физика практически никогда не излагается полноценно в курсе общей физики. Дело в том, что квантовая физика - достаточно математизированная область, как видно выше, а курсы общей физики стараются делать как можно более простыми с математической стороны.

Чтобы получить адекватное изложение, надо ориентироваться на учебники уровня "Теоретической физики" Ландау-Лифшица, и отдельные учебники по отдельным разделам физики, не входящие в циклы "общей физики".

Квантовая физика, "первый уровень" - это
Ландау, Лифшиц Т. 3 Квантовая механика
или его аналоги (Давыдов, Блохинцев) и другие книги того же уровня (Мессиа, Коэн-Таннуджи, Фейнман-Хибс). В качестве дополнительного чтения - "Фейнмановские лекции по физике" Тт. 8-9 (ни в коем случае нельзя считать их самодостаточными).

Квантовая физика, "второй уровень" - это
Ландау, Лифшиц Т. 4 (Берестецкий, Лифшиц, Питаевский) Квантовая электродинамика (не лучший учебник)
или его аналоги и другие книги по КТП:
Боголюбов-Ширков (2 книги), Пескин-Шрёдер, Ахиезер-Берестецкий, Бьёркен-Дрелл, Вайнберг, Зи, Фейнман "Квантовая электродинамика" (опять дополнительное чтение), и много ещё разной литературы - перечислять нет смысла.

Также, лично я советую отрываться от уровня "общей физики" вверх и в других разделах: в статистической физике и термодинамике, в физике твёрдого тела. "Общую физику" можно считать удовлетворительной разве что в разделе классической электродинамики (aka электричество и магнетизм, радиоволны), и для первого обзорного знакомства с явлениями в веществе.

DiscipleOfTheWatch в сообщении #768272 писал(а):

Кстати, у меня была ещё такая мысль. Сразу начать с повторения физики, если формула непонятна, то читать соответствующий раздел в книге по математике.

Такой подход страдает двумя катастрофическими недостатками:
- вы не получите цельной картины математического аппарата;
- на самом деле, можно смотреть на формулу, и думать, что она понятна, хотя на самом деле это не так. Вы будете "смутно" понимать её, и от формулы к формуле ощущение "туманности" нарастает постепенно. Но это ошибочное понимание, вы с самого начала не поняли, о чём речь, и только старт с нуля, изучение математического раздела, и потом перечитывание с начала всех формул, могут вернуть вас на правильную дорожку.

Например, в формулах квантовой физики встречаются выражения, которые выглядят как привычные переменные, умножения, уравнения... но на самом деле, там в $\infty$ раз более сложные объекты: операторы, произведения операторов, уравнения на операторы. Когда читаете такие формулы, кажется, что "всё как обычно", только почему-то вот здесь нарушены школьные правила, вон там непонятно, как из одного получено другое, и т. д. А на самом деле, там есть правила, которые жёстко выполняются, только они новые, и их надо усвоить с начала, и во всех формулах увидеть точный смысл и корректность переходов.

[DiscipleOfTheWatch]

Возможно тогда стоит забить и на повторение курса общей физики и сразу изучать квантовую механику и те разделы математики, про которые вы написали?

[Munin]

Ну, я не знаю, насколько ваши знания о курсе общей физики "хромают". Если что-то помнится - то можно и "забить", а если всё плохо - стоит хотя бы пролистать, освежить память.

[DiscipleOfTheWatch]

Munin в сообщении #768323 писал(а):

Ну, я не знаю, насколько ваши знания о курсе общей физики "хромают". Если что-то помнится - то можно и "забить", а если всё плохо - стоит хотя бы пролистать, освежить память.

Спасибо, благодаря вам, у меня нарисовался примерный план действий.
И ещё. В вашем сообщении упоминаются такие разделы математики: линейная алгебра, функан, теория функций комплексной переменной, теория групп Ли, дифференциальная геометрия, теория категорий. В какой последовательности лучше всего знакомиться с ними?

[Munin]

Зависимости тут примерно такие:
линейная алгебра $\rightrightarrows$ функан (целиком основано на)
линейная алгебра $\rightrightarrows$ теория групп Ли, алгебр Ли, и их представлений (матричные представления целиком основаны на; многие примеры групп происходят из линала)
линейная алгебра $\rightarrow$ дифференциальная геометрия (использует)
функан $\stackrel{?}{\rightleftarrows}$ дифференциальная геометрия (соприкасаются, рассматривая пространства функций на многообразиях)
ТФКП $\stackrel{?}{\dashrightarrow}$ функан (может задействовать или цитировать)
дифференциальная геометрия $\stackrel{?}{\rightarrow}$ теория групп Ли, алгебр Ли, и их представлений (могут быть рассмотрены с помощью)
теория категорий $\stackrel{?}{\dashrightarrow}$ функан, теория групп Ли, алгебр Ли, и их представлений, дифференциальная геометрия (могут быть изложены на этом языке; а могут и нет)

[Denis Russkih]

(Оффтоп)

Munin

Ну Вы монстр! Столько буковок, конечно, и я могу выдать под настроение, и даже ещё больше... А вот столько знаний, стоящих за каждой буквой, моей голове, наверное, не вместить никогда. :)

Сохранил всю темку целиком на жёсткий диск, чтобы не потерять. :)