Вопрос ТС интересен, но поскольку уравнения движения здесь писать непринято (мягко говоря), то и ответа на него не будет.
На всякий случай если кто-нибудь все-таки сподобится.
В модели, которую я там выше предложил. Вводим подвижную систему координат

. Ось

направлена вверх и проходит через ось стержня, ось

проходит через прямую

.
Обобщенные координаты:
1)

-- высота центра масс обруча, далее центр масс обозначаем через

2)

-- угол поворота обруча в его собственной плоскости
3)

-- угол поворота плоскости обруча к оси

4)

-- угол поворота оси

в горизонтальной плоскости.
Угловая скорость обруча находится по формуле

Через

обозначим точку контакта обруча со стержнем. Уравнение связи имеет вид
![$\overline v_C=\overline v_S+[\overline \omega,\overline{SC}]=0$ $\overline v_C=\overline v_S+[\overline \omega,\overline{SC}]=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/c/87c150110e751863297c2b455e288fd482.png)
. Это уравнение надо расписать по системе

Функция Лагранжа

, где

-- масса обруча,

-- его оператор инерции.
Очевидно, формулы получатся простые, не исключено, что задача интегрируемая даже.