Задача по функциональному анализу

[myjobisgop]

Всем доброго вечера. Думаю над такой задачей:

Пусть $\overline{B_n} = \overline{B_{r_n}}(x_n)$ - шары в банаховом пространстве и $\overline{B_{n+1}} \subset \overline{B_n}$. Доказать что существует точка $x \in \bigcap\limits_{n=1}^\infty \overline{B_n}$

Мои идеи были такими:

Рассмотрим последовательность $\{x_n\}\limits_{n=1}^\infty$, где $x_n$ - центр соответствующего шара $\overline{B_n}$
Если доказать, что эта последовательность фундаментальна, то в силу банаховости пространства у неё существует предел и тогда теорема будет доказана.

Вопрос: Как строго доказать, что последовательность $\{x_n\}\limits_{n=1}^\infty$ фундаментальна? Интуитивно, фундаментальность ясна, но тем не менее требует доказательства.

[Oleg Zubelevich]

в полном метрическом пространстве это верно.... Колмогоров-Фомин

[myjobisgop]

Oleg Zubelevich
Здесь, если вы заметили, я не сказал что радиусы шаров стремятся к нулю.

[mihailm]

тогда это неверно

[myjobisgop]

Не верно то что $\{x_n\}\limits_{n=1}^\infty$ фундаментальна или то что радиусы не стремяться к нулю?

[venco]

А если уменьшить все шары на предел радиусов, который точно существует, хотя может и не быть нулём?

[myjobisgop]

venco
Что значит уменьшить все шары на предел радиусов?

[venco]

У радиусов есть предел $r$. Заменяем каждый шар на другой, с тем же центром, и радиусом, меньшим на $r$. Смотрим на последовательность новых шаров...

[myjobisgop]

Т.е. мы берем в тех центрах шары радиуса $R_n = r_n - r$, где $r_n$ - изначальный радиус шара. Теперь радиусы новых шаров $R_n$ стремятся к нулю => существует общая точка. А полнота пространства следует из банаховости.

Я правильно вас понял?

[venco]

Типа того. Надо ещё доказать, что новая последовательность тоже вложенная.