2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 21:28 
Всем доброго вечера. Думаю над такой задачей:

Пусть $\overline{B_n} = \overline{B_{r_n}}(x_n)$ - шары в банаховом пространстве и $\overline{B_{n+1}} \subset \overline{B_n}$. Доказать что существует точка $x \in \bigcap\limits_{n=1}^\infty \overline{B_n}$

Мои идеи были такими:

Рассмотрим последовательность $\{x_n\}\limits_{n=1}^\infty$, где $x_n$ - центр соответствующего шара $\overline{B_n}$
Если доказать, что эта последовательность фундаментальна, то в силу банаховости пространства у неё существует предел и тогда теорема будет доказана.

Вопрос: Как строго доказать, что последовательность $\{x_n\}\limits_{n=1}^\infty$ фундаментальна? Интуитивно, фундаментальность ясна, но тем не менее требует доказательства.

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 21:31 
в полном метрическом пространстве это верно.... Колмогоров-Фомин

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 21:49 
Oleg Zubelevich
Здесь, если вы заметили, я не сказал что радиусы шаров стремятся к нулю.

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 21:59 
тогда это неверно

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 22:24 
Не верно то что $\{x_n\}\limits_{n=1}^\infty$ фундаментальна или то что радиусы не стремяться к нулю?

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 22:40 
А если уменьшить все шары на предел радиусов, который точно существует, хотя может и не быть нулём?

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 23:17 
venco
Что значит уменьшить все шары на предел радиусов?

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 23:24 
У радиусов есть предел $r$. Заменяем каждый шар на другой, с тем же центром, и радиусом, меньшим на $r$. Смотрим на последовательность новых шаров...

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение24.09.2013, 23:46 
Т.е. мы берем в тех центрах шары радиуса $R_n = r_n - r$, где $r_n$ - изначальный радиус шара. Теперь радиусы новых шаров $R_n$ стремятся к нулю => существует общая точка. А полнота пространства следует из банаховости.

Я правильно вас понял?

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу
Сообщение25.09.2013, 01:29 
Типа того. Надо ещё доказать, что новая последовательность тоже вложенная.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group