Законы Кеплера

[nnosipov]

Навеяно вот этим оффтопом:

Munin в сообщении #766925 писал(а):

(Оффтоп)

У меня такое впечатление, что Oleg Zubelevich, при его несомненных достоинствах, просто не знает задачу Кеплера. В результате, и интегралов побаивается... хотя они там просты и очень красивы, именно в смысле, который он же и ценит.

Вряд ли это так --- все мы слушали в своё время курс теоретической механики, где эти интегралы писались в том или ином виде. Но вот я с тех пор никак не касался теоретической механики и, вполне возможно, что-то подзабыл. Прошу обсудить мой небольшой текст про законы Кеплера (файл прилагаю), который я сочинил для своих студентов с целью их просветить :). Всё ли там в порядке и нет ли ляпов (откровенных и не очень)?

Upd. Файл обновлен.

[Munin]

Термин "живая сила" всё-таки устарел и спорен (велись споры о том, является ли сохраняющаяся величина "живая сила" $mv$ или $mv^2,$ завершившиеся формулировкой законов сохранения двух величин: импульса и энергии). Кеплер его не употреблял, и вспоминать его в чисто техническом, неисторическом тексте нет нужды. Также довольно неудобны и устарели обозначения типа $\mathit{\mathbf{F}}=(X,Y,Z)$ вместо $\mathit{\mathbf{F}}=(F_x,F_y,F_z)$ (приходится помнить, а от какой величины это компоненты - этим же страдают обозначения времён от Максвелла до первых статей по СТО; потом распространились индексы).

Потенциал $U$ почему-то выбран с обратным знаком по отношению к общепринятому.

Полезно сообщить, что потенциал вида $U=\pm\tfrac{\alpha}{r}$ называется кулоновским или ньютоновским.

В физике, перед рассмотрением движения под действием центральной силы, сначала рассматривают задачу двух тел, и факторизуют её, вводя систему центра масс и приведённую массу. У вас этого нет.

Формула конического сечения в полярной с. к. у вас уже известный факт? Это не так чтобы самая часто встречающаяся формула, и всплывает обычно именно в связи с задачей Кеплера. Меня всегда смущало, что ради этой формулы приходится лезть в левый учебник, причём либо забытый, либо вообще не пройденный. Может, стоит уделить пару строк её выводу на месте?

Полезно сказать пару слов не только об эллиптическом, но и о параболическом и гиперболическом режимах движения.

И вообще, есть замечательный текст
Feynman's lost lecture (proof of elliptic orbits)(T)(C)(33s).djvu
в котором, мне кажется, есть что почерпнуть с точки зрения преподавания.

-- 23.09.2013 17:21:02 --

Где можно почитать тексты о выводе законов Кеплера:
0. Учебники по общей физике.
Матвеев. Фейнмановская "потерянная лекция" (см. выше).
1. Учебники по механике.
Арнольд, Ландау-Лифшиц, наверняка Маркеев, Ольховский.
2. Теоретическая физика.
Тот же Ландау-Лифшиц. Медведев.
3. Небесная механика.
Дубошин "Небесная механика. Основные задачи и методы", "Справочное руководство по небесной механике и астродинамике", Рой, Субботин.

-- 23.09.2013 17:21:55 --

Munin в сообщении #766966 писал(а):

Полезно сказать пару слов не только об эллиптическом, но и о параболическом и гиперболическом режимах движения.

Точно! И для кулоновского случая про случай отталкивания (один только гиперболический режим).

[nnosipov]

Munin, спасибо.

Munin в сообщении #766966 писал(а):

Термин "живая сила" всё-таки устарел и спорен (велись споры о том, является ли сохраняющаяся величина "живая сила" $mv$ или $mv^2,$ завершившиеся формулировкой законов сохранения двух величин: импульса и энергии). Кеплер его не употреблял, и вспоминать его в чисто техническом, неисторическом тексте нет нужды.

Дело в том, что этот текст я подготовил для курса по истории математики. Сам этот курс мне казался не очень нужным и скучным, поэтому я решил упор сделать больше на математику, чем на историю. А термин "живая сила" в каком-то древнем курсе по теоретической механике нашёл (Четаев, кажется).

Munin в сообщении #766966 писал(а):

Также довольно неудобны и устарели обозначения типа $\mathit{\mathbf{F}}=(X,Y,Z)$

Это, скорее всего, оттуда же.

Munin в сообщении #766966 писал(а):

Потенциал $U$ почему-то выбран с обратным знаком по отношению к общепринятому.

Полезно сообщить, что потенциал вида $U=\pm\tfrac{\alpha}{r}$ называется кулоновским или ньютоновским.

Поправлю и добавлю.

Munin в сообщении #766966 писал(а):

В физике, перед рассмотрением движения под действием центральной силы, сначала рассматривают задачу двух тел, и факторизуют её, вводя систему центра масс и приведённую массу. У вас этого нет.

Да, про этот недостаток я знаю. Надо бы дописать.

Munin в сообщении #766966 писал(а):

Формула конического сечения в полярной с. к. у вас уже известный факт? Это не так чтобы самая часто встречающаяся формула, и всплывает обычно именно в связи с задачей Кеплера. Меня всегда смущало, что ради этой формулы приходится лезть в левый учебник, причём либо забытый, либо вообще не пройденный. Может, стоит уделить пару строк её выводу на месте?

Для студентов-математиков это, по-моему, нормально --- вроде бы стандартный факт, который в курсе аналитической геометрии подробно обсуждается. Не хотелось бы отвлекаться от главной темы. Но можно, конечно, и написать мелким шрифтом.

Munin в сообщении #766966 писал(а):

Полезно сказать пару слов не только об эллиптическом, но и о параболическом и гиперболическом режимах движения.

Да, согласен. В следующей версии текста, если руки дойдут, сделаю.

За литературу спасибо отдельно. Честно говоря, я не особо куда заглядывал --- просто было любопытно самому сесть и написать все необходимые формулы. Надеюсь, в них-то я не наврал?

[Oleg Zubelevich]

nnosipov
Уж не знаю насколько Вам это интересно.
Задача о движении точки в центральном поле имеет два интеграла в инволюции: интеграл площадей и закон сохранения энергии. В случае поля $1/r$ появляется третий интеграл -- интеграл Лапласа (его, имхо, надо упомянуть в любом случае) именно этот третий интеграл ответственен за то, что в задаче Кеплера все ограниченные траектории замкнуты.
Я бы еще рассмотрел приведеный потенциал

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #766992 писал(а):

В случае поля $1/r$ появляется третий интеграл -- интеграл Лапласа (его, имхо, надо упомянуть в любом случае) именно этот третий интеграл ответственен за то, что в задаче Кеплера все ограниченные траектории замкнуты.

Спасибо, этого я просто не знал. Это есть в учебниках из вышеуказанного списка? Или нужно что-то более специальное?

[Oleg Zubelevich]

Татаринов Лекции по класс. динамике

Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор. механика

[nnosipov]

Спасибо. Попробуем почитать.

[Munin]

nnosipov в сообщении #766990 писал(а):

А термин "живая сила" в каком-то древнем курсе по теоретической механике нашёл (Четаев, кажется).

Ну, не стоит его употреблять просто так, "для красоты". Почитайте про "спор о живой силе" - это один из знаменитых эпизодов истории науки, как и спор о струне, спор о природе света, спор Эйнштейна с Бором и т. д. В целом, итоги спора таковы: оба оказались правы, а термин, как одеяло, на двоих не тянется, вот от него и отказались вообще :-)

nnosipov в сообщении #766990 писал(а):

вроде бы стандартный факт, который в курсе аналитической геометрии подробно обсуждается

Ну, значит, мне досталась "аналитическая геометрия для нематематиков", без полярной с. к. Ладно, если вашим студентам это известно - всё окей.

nnosipov в сообщении #766990 писал(а):

Надеюсь, в них-то я не наврал?

Формулы я бегло вычитывал. На первый взгляд всё окей.

-- 23.09.2013 18:14:43 --

nnosipov в сообщении #767000 писал(а):

Это есть в учебниках из вышеуказанного списка?

Есть. Почти во всех. (В книжках по небесной механике точно есть. У Арнольда есть. В книжках по теоретической физике - часто рассматривается более общий случай, чем ньютонов потенциал - в нём этого интеграла может быть не указано, зато указана более общая классификация потенциалов и орбит.)

[nnosipov]

Munin в сообщении #767013 писал(а):

Ну, не стоит его употреблять просто так, "для красоты".

Да, Вы правы, это было именно для "красоты" :)

Munin в сообщении #767013 писал(а):

Формулы я бегло вычитывал. На первый взгляд всё окей.

Спасибо и на этом. Ловля блох --- это уже забота автора.

В общем, текст вышел, конечно, сыроватый.

[Munin]

nnosipov в сообщении #767021 писал(а):

В общем, текст вышел, конечно, сыроватый.

В первой версии любой текст сыроватый.

[nnosipov]

Ну что же, фронт работ мне примерно понятен. (Сейчас смотрю и думаю: это почему я хоть какой-нибудь список литературы не написал? Для методических текстов это же недопустимо.) Спасибо ещё раз всем за конкретные замечания и комментарии.

[ewert]

Munin в сообщении #766966 писал(а):

Полезно сообщить, что потенциал вида $U=\pm\tfrac{\alpha}{r}$ называется кулоновским или ньютоновским.

Или, кстати, гуковским. Был там на этот счёт тогда какой-то скандал. Я в истории не разбираюсь; но, возможно, и этот пассаж может оказаться любопытным и полезным. Раз уж речь об истории.

[nnosipov]

ewert в сообщении #767085 писал(а):

Был там на этот счёт тогда какой-то скандал.

Это не тот, что Арнольд описывает в своей книге "Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук"?

[Munin]

ewert в сообщении #767085 писал(а):

Или, кстати, гуковским.

Чё???

ewert в сообщении #767085 писал(а):

Был там на этот счёт тогда какой-то скандал.

Есть версия, что силу тяготения $\sim-(\mathbf{r}/r)/r^2$ придумал Гук, и эту версию распространял Арнольд (великий "баечник" на исторические темы, на первоисточники не ссылавшийся никогда). Но всё-таки гуковским потенциалом, если такое и будет где-то употреблено, назовут практически гарантированно $U=\tfrac{kx^2}{2},$ а вовсе не $U=\tfrac{\alpha}{r}.$ Так что лучше не вводить в заблуждение.

А каким именно образом были получены законы Ньютона и решения задачи Кеплера - на эту тему полезно смотреть как раз ту самую лекцию Фейнмана, непосредственно Principia Ньютона (в переводе на русский, разумеется), и книжку "Иоганн Кеплер" Белого Ю. А.
И, пожалуй, Уиттекер "История теорий эфира и электричества" 2-й том, там кратко рассказано про историю теории гравитации и небесной механики после Ньютона.

[ewert]

Munin в сообщении #767089 писал(а):

Но всё-таки гуковским потенциалом, если такое и будет где-то употреблено, назовут практически гарантированно $U=\tfrac{kx^2}{2},$

Общепризнанное -- вовсе не значит историческое. Гук же с Ньютоном по поводу того, другого закона вполне реально бодался, и отнюдь не с подачи Арнольда, это медицинский факт. Уж не знаю, насколько обоснованно (да и не очень это интересно), но что факт -- то факт. Извиняюсь, но изменить историю -- не в моих силах.