Простая задача по теории вероятностей.

[DrGonzo]

Добрый день,
есть ощущение что заблудился в трёх стенах . Условие следующее:

Система (X,Y) задана плотностью распределния

$$f(x,y) = ax$$

в области,
показанной на рисунке.


Найти:

$\begin{enumerate} \item Значение параметра a; \item Функции распределния X и Y; \item E(X|Y) и E(Y|X); \item Зависимы или нет X и Y? \end{enumerate}$


$\subsection*{Решение:}$

По определению функции распределения случайной величины:

$\begin{center} $\ensuremath{\underset{\text{D}}{\iint} f(x,y) dx dy = 1}$ \par\end{center}$

Где D- область, на которой определена плотность системы. Для приведенной
в задании системы соотношение будет иметь следующий вид:

$\begin{center} $\ensuremath{\underset{\text{D}}{\iint} ax dx dy = 1}$ \par\end{center}$

Отсюда в силу свойств двойного интеграла имеем

$\begin{center} $\ensuremath{a = \frac{1}{\underset{\text{D}}{\iint} x dx dy}}$ \par\end{center}$

Вычислим $\underset{\text{D}}{\iint} x dx dy$:

\begin{center} $\ensuremath{\underset{\text{D}}{\iint} x dx dy = \overset{2\pi}{\underset{0}{\int}}(\underset{0}{\overset{|\sin x|}{\int}}x dy)dx= 4\pi}$ \par\end{center}


Отсюда:

\begin{center} $\ensuremath{a = \frac{1}{4\pi}}$ \par\end{center}

Маргинальные функции распределения выражаются следующим образом:

\begin{center} $\ensuremath{F(x) = F(x, +\infty)}$ \par\end{center}

Вот тут-то и начинается тупизм. Как выразить F(x) мне кажется, очевидно ($\overset{x}{\underset{0}{\int}}(\underset{0}{\overset{|\sin x|}{\int}}x dy)dx$). А вот с игреком сообразить не могу (хотя вроде всё элементарно). Вообще, складывается ощущение, что я пошел по сложному пути и тут всё сильно проще (например, никак не использую зависимость).

Заранее благодарю.

[--mS--]

Ну как это Вы никак не используете зависимость, если интегрируете совместные плотности? Искать разве что стоило для начала плотности, а не функции распределения, было бы нагляднее. Так же и с игреком: рисуете на уровне $y\in[-1,1]$ горизонтальную прямую, интегрируете плотность по всем $x$ между точками пересечения, получаете плотность $Y$. Например, при $y\in[0,1]$

$$ f_Y(y)=\int\limits_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} ax\,dx. $$

Полученную плотность, составленную из двух функций, потом проинтегрируете от $-1$ до произвольного $y$ (отдельно для $y\in[-1,0]$, отдельно для $y\in[0,1]$) и получите функцию распределения.