Усиление одного известного неравенства

[arqady]

Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^2+b^2+c^2=3$ докажите, что

$$(a+b)(a+c)(b+c)\geq8\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$$

[TR63]

$a^{\alpha_1}+b^{\alpha_2}+c^{\alpha_3}=3$, где $\alpha_i>0$
Из условия следует, что существует $b\le1$. Тогда $b\geс b^2$. Сделаем усиление:
$[(a+b)(b+c)(a+c)]^3-(8^3)(ac)^{2}b\ge0$
Частная производная $f'(b)$ имеет не более одного положительного корня. Поэтому неравенство достаточно доказать в двух точках: $b=0$ и $b=1$.
1). $ac\ge1$, $b=1$. (Применяем АМ-ГМ )
2).$ac<1$, $b=1$.
Из $a^{\alpha_1}+c^{\alpha_3}=2$ следует, что существует $c\le1$, $c\ge c^2$, $a\ge1$
Повторяем первоначальную идею об усилении, получаем неравенство, которое верно.

[arqady]

TR63 в сообщении #766914 писал(а):

Из условия следует, что существует $b\le1$.

Это следует не только из условия.

TR63 в сообщении #766914 писал(а):

Сделаем усиление:
$[(a+b)(b+c)(a+c)]^3-(8^3)(ac)^{2}b\ge0$

Подставьте сюда $b=0.8$ и $a=c=\sqrt{1.18}$ и Вы получите неверное неравенство.

[TR63]

arqady в сообщении #767154 писал(а):

TR63 в сообщении #766914 писал(а):

Сделаем усиление:
$[(a+b)(b+c)(a+c)]^3-(8^3)(ac)^{2}b\ge0$

Подставьте сюда $b=0.8 [/math] и Вы получите неверное неравенство.

arqady,
это неравенство доказывается для $b=1$. Т. е. Вы предлагаете подставить в исходное неравенство. Если в лоб, то получаем отрицательный результат. Почему? Думаю (гипотеза), что оно непрерывно по знаку (>;<) относительно переменных ($\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$) и достаточно проверить в одной точке, например, как предлагаете Вы. Т.е. взять все степени равные 2 и проверить в одной точке.