Доказать неравенство методом математической индукции

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста, доказать данное неравенство методом математической индукции:

$$1+\frac1{\sqrt{2}}+\frac1{\sqrt{3}}+...+\frac1{\sqrt{n}}>\sqrt{n}, (n\ge2)$$

[provincialka]

Помочь мы можем, если вы покажете, что уже сделали.

[RikkiTan1]

Ну, я сделал следующее)
$I.$

$$n=2$$

$$1+\frac1{\sqrt{2}}>2 $$

$II.$
Предположим, что верно следующее

$$1+\frac1{\sqrt{2}}+\frac1{\sqrt{3}}+...+\frac1{\sqrt{k}}>\sqrt{k}, (k\ge2)$$

Доказать, что

$$1+\frac1{\sqrt{2}}+\frac1{\sqrt{3}}+...+\frac1{\sqrt{k}}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}, (k\ge2)$$

Дальше я, вроде как, понял, что надо представить

$$\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}$$

в виде

$$\sqrt{k+1}- $$

какое-нибудь выражение.
Тогда получится, что неравенство верно. Потом я написал

$$\sqrt{k+1-1}+\frac1{\sqrt{k+1}}$$

И всё)

[provincialka]

Не надо представлять. Можно, например, записать на сколько увеличится левая и насколько - правая часть. И докажите, что левая часть изменилась больше.

[Ms-dos4]

Используйте, что $\[\sqrt {n + 1} \approx \sqrt n + \frac{1}{{2\sqrt n }}\]$, причём учтите что приближение завышает правую часть, а значит если верно для этого приближения, то верно и для точного значения.Ну и теперь остаётся показать что $\[\frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} > \frac{1}{{2\sqrt n }}\]$

[bot]

Зачем усложнять простейшее неравенство $\sqrt n + \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\geqslant \sqrt{n+1} $?

[RikkiTan1]

О, блин, я, кажется, решил)

$$\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}$$

$$\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k}}>\frac{k+1}{\sqrt{k}}$$

$$\sqrt{k+1}>\frac{k}{\sqrt{k}}$$

$$\sqrt{k+1}>\sqrt{k}$$

Подскажите, пожалуйста, такой ход решения является индуктивным?

[provincialka]

Идея правильная, но преобразования непонятны. Может, опечатки у вас?

[RikkiTan1]

Эм, вроде, нет. Это уравнение:

$$\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}$$

Я умножил на:

$$\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}}$$

[SpBTimes]

А зачем индукция? Сумма явно больше, чем самый маленький член, умноженный на общее кол-во членов.
Т.е. $> \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot n = \sqrt{n}$

[provincialka]

RicciTan1, ну ладно. Только зачем? Разве нельзя просто избавиться от знаменателя

[SpBTimes]

RikkiTan1 в сообщении #766591 писал(а):

Эм, вроде, нет. Это уравнение:

$$\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}$$

Я умножил на:

$$\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}}$$

Ну, вообще-то это неравенство. Да и весьма бесхитростно выходит, что:
$\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k + 1}} = \frac{\sqrt{k(k+1)} + 1}{\sqrt{k + 1}} > \frac{k + 1}{\sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1}$

[RikkiTan1]

Что-то я запутался.

SpBTimes в сообщении #766619 писал(а):

Ну, вообще-то это неравенство.

Т.е. в неравенствах нельзя умножать обе части?
Или я просто сделал лишние действия?

[SpBTimes]

RikkiTan1
Вы писали "уравнение"

[provincialka]

RikkiTan1 в сообщении #766663 писал(а):

Что-то я запутался.

SpBTimes в сообщении #766619 писал(а):

Ну, вообще-то это неравенство.

Т.е. в неравенствах нельзя умножать обе части?
Или я просто сделал лишние действия?

Да нет, все правильно. Просто не стоит в таком виде сдавать преподавателю, он должен будет ломать голову, откуда что взялось. Хотя бы укажите, что именно делали.