Заменить функцию более простой

[ИСН]

Минимум символов - это, пожалуй, будет как раз через синус.

[mserg]

Напрямую соорудить периодическую функций из +, -, *, / и констант невозможно. Приведенные выше формулы либо «эмулируют» периодичность с помощью степени -1, либо пользуются условной функцией. Поэтому можно не париться – лучше не будет.

Но если вспомнить, что синус есть решение дифференциального уравнения, то можно записать соответствующее разностное:
$f(n+2)=-f(n)$
Ну, и первые два члена выступят в качестве «начального условия.

[whitefox]

naiv1 в сообщении #764886 писал(а):

Критерий простоты:интуитивный, например, минимум символов, которые формула содержит.

Лучше потребовать минимума операций принадлежащих некоторому множеству.

Пусть, например, множество операций $\{+,-,\cdot,/,\&\}$, где $\&$ операция побитового AND.

Мой вариант $f(n)=(n\;\&\;1)\cdot(2 -(n\;\&\;3))$, четыре операции из указанного множества.

[naiv1]

ИСН в сообщении #764915 писал(а):

Минимум символов - это, пожалуй, будет как раз через синус.

Я уже об этом подумал днем до того, как прочитал Ваше сообщение. Возможно, это самая короткая запись. Дело в том, что нужно использовать комбинацию известных функций, т.к. если вводить новые функции, то их надо еще описать, на что требуется немало символов.

Может быть можно еще как-то поиграться с выражениями, которые содержат функцию $y=|x|$ - тоже ведь известную? Тем более, если нарисовать график рассматриваемой периодической последовательности, то он выглядит пилообразной ломаной линией,зубья которой как раз и похожи на график функции взятия абсолютной величины с соответствующими знаками в соответствующих промежутках изменения аргумента. У меня что-то не получается в этом направлении.

whitefox в сообщении #764994 писал(а):

Мой вариант $f(n)=(n\;\&\;1)\cdot(2 -(n\;\&\;3))$

Этот вариант может быть и неплохой, однако имеет скорее компьютерный вид, а хотелось бы видеть формулу с известными математическими операциями или функциями.

[whitefox]

Ну если Вам не нравится операция побитового AND, то её можно заменить операцией взятия остатка $\mod$, очень хорошо известной математической операцией. Формулу уже приводил:

whitefox в сообщении #764662 писал(а):

$f(n)=(n\bmod2)\cdot(2-(n\bmod4))$

Число операций по прежнему четыре.

Или использовать функцию "дробная часть" $\{x\}$

$f(n)=4\{\frac n 2\}(1-2\{\frac n 4\})$

Можете ещё использовать функцию "расстояние до ближайшего целого" $\{\{x\}\}$ http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/36.pdf
Сравните её график с графиком построенным Вами, необходимые изменения очевидны.

[naiv1]

whitefox в сообщении #765221 писал(а):

whitefox в сообщении #764662 писал(а):
$f(n)=(n\bmod2)\cdot(2-(n\bmod4))$

Это вполне нормальный вариант.

Путем некоторых манипуляций с функцией абсолютной величины мне все-таки удалось найти формулу для общего члена последовательности с использованием этой функции в виде:
$f(n)=|2-|n \mod 4-1||-1$.

Похоже, что лучший вариант представления последовательности для восприятия человеком - это первый, через функцию синус. (Прямо как по известной сказке, когда мужик пошел продавать на рынок корову и так расхваливал ее перед покупателями, что убедил себя, что корова хороша и пригодится ему самому ).
Для компьютерной реализации можно выбрать одну формул представленных участниками, за которые их благодарю.

P.S. Если есть другие варианты представления последовательности - пишите.

[mserg]

$f(n)=c(1+(n-1) \mod 4)$
где $c=(0,1,0,-1)$

Есче:
$f(n)=-\operatorname{Re}(i^n)$

Я знаю толк в изращениях...

[ИСН]

naiv1 в сообщении #765570 писал(а):

$f(n)=|2-|n \mod 4-1||-1$

Внешний модуль - лишний.

[naiv1]

Пожоже нет предела совершенству!

mserg в сообщении #765571 писал(а):

$f(n)=c(1+(n-1) \mod 4)$
где $c=(0,1,0,-1)$

Очень неплохой вариант компьютерной реализации, связанной с введением массива, почти не требующий вычислений, а только выборки.
Если использовать соглашение, допускаемое в некоторых компьютерных языках, что нумерация числового массива может начинатся с $0$, а не с $1$, то $f(n)$ принимает совсем уж простой вид:
$f(n)=c(n \mod 4)$, где
$c=(0,1,0,-1)$.

С учетом замечания-предложения

ИСН в сообщении #765601 писал(а):

Внешний модуль - лишний.

предложенная мною формула для $f(n)$ может быть упрощена до
$f(n)=1-|n \mod 4-1|$.
Формула содержит четыре операции, однако не использует дополнительного массива и вполне может использоваться для компьютерной реализации.

Есть еще предложения?

[venco]

Без массива на C: (5>>(n&3)&3)-1

[naiv1]

venco в сообщении #766016 писал(а):

Без массива на C: (5>>(n&3)&3)-1

Поясните, что это за операции:
1. >>
2. &
и их приоритет(ность) по отношению друг к другу.

[venco]

naiv1 в сообщении #767124 писал(а):

1. >>

Побитовый сдвиг вправо, эквивалентен делению на соответствующую степень двойки.

naiv1 в сообщении #767124 писал(а):

2. &

Побитовый И.

naiv1 в сообщении #767124 писал(а):

и их приоритет(ность) по отношению друг к другу.

Сначала >> (почти как деление), потом &.

[_Ivana]

В свое время постеснялся написать, а сейчас решился, пока это еще не будет расценено как некропостинг: формула venco - это как раз то, что я хотел (да вовремя не успел) придумать для этой функции: минимум базовых операций, которые есть в большинстве архитектур, отсутствие умножения, деления, остатка от деления, условий и т.п.