Слабо зависимые матрицы

[Dave]

Пусть есть $k$ матриц $A_1,A_2,\dots,A_k$ размера $n \times n$. Будем говорить, что они слабо зависимы, если для любого вектора $x \in \mathbb R^n$ векторы $A_1x,A_2x,\dots,A_kx$ линейно зависимы.

Это определение естественным образом обобщается на линейные операторы в произвольных векторных пространствах, но меня сейчас интересует конечномерный случай. Линейная зависимость, как и сами исходные матрицы, подразумеваются над полем $\mathbb R$. Существует ли в теории аналог вышеприведённого определения (возможно, оно как-то по другому называется)? И самый главный вопрос:

Существует ли какой-либо критерий, позволяющий определить, являются ли данные матрицы слабо зависимыми?

Понятно, что такая зависимость будет в случае, когда эти матрицы линейно зависимы друг от друга (т.е. одна из них является линейной комбинацией остальных). Поэтому последняя зависимость, которую в данном контексте логично назвать сильной зависимостью, будет достаточным, но не необходимым условием слабой зависимости. Достаточно заметить, например, что в случае $k \geqslant n+1$ матрицы всегда будут слабо зависимы, но легко привести пример набора из $n^2$ матриц размера $n \times n$, не являющихся сильно зависимыми.
Трудности c построением критерия начинаются уже в случае $k=2$. Удалось доказать, что если обе матрицы невырождены, то слабая зависимость совпадает с сильной зависимостью. Но что делать, если одна или обе матрицы вырождены, как в следующем примере:

$$A_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \; A_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \; ?$$

Случай же $k>2$ - вообще тёмный лес.
Пробовал искать критерий в виде

$$\det(\lambda_1 A_1+ \lambda_2 A_2+\dots+\lambda_k A_k)=0 \; \text{при каком-то нетривиальном наборе} \; \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k$$

или же

$$\det(\lambda_1 A_1+ \lambda_2 A_2+\dots+\lambda_k A_k) \equiv 0 \, ,$$

но первое условие слишком слабое, а второе - слишком сильное.

[Евгений Машеров]

Я бы предположил, что у таких матриц должно быть общее ядро порядка n-k.

[Dave]

Евгений Машеров в сообщении #765247 писал(а):

Я бы предположил, что у таких матриц должно быть общее ядро порядка n-k.

Но ведь можно просто взять две единичные матрицы. $n-2$ как угодно велико, у каждой из матриц ядро нулевого порядка, но матрицы слабо (и даже сильно) зависимы.