Доказать неравенство

[KiberMath]

Доказать неравенство

$ \sqrt{a} + \sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}$

Без идей...

[Lion]

Хм... Обратите внимание на то, что левая часть неравенства всегда меньше 0, а правая --- больше.

P.S. Условие точно такое?

[незваный гость]

Я думаю, там + а не -

[ИСН]

Наверняка там плюс. А тогда что ж: следует прямо из того, что корень - функция выпуклая, причём вверх.

[KiberMath]

Да, там действительно плюс (исправил)

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

ИСН
А как это можно доказать?

[Brukvalub]

Попробуйте переписать неравенство так:

\[ \sqrt {a + 2} - \sqrt {a + 1} < \sqrt {a + 1} - \sqrt a \]

и домножить и разделить левую и правую его части на соответствующие суммы корней - неравенство станет очевидным

[maxal]

KiberMath писал(а):

Доказать неравенство
$ \sqrt{a} + \sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}$

Примените, например, неравенство о средних к числам $a$ и $a+2$. А именно, рассмотрите среднее степени $\frac{1}{2}$ и среднее степени $1$ (среднее арифметическое) и извлеките из них квадратные корни.
Или исследуйте на монотонность функцию $f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ и покажите, что $f(a+1)<f(a)$.

[KiberMath]

maxal
Спасибо разобрался )