Найти сумму ряда

[Ktina]

Найти сумму ряда:

$$1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{189}+\dfrac{1}{729}+\dots=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)\cdot 3^{n-1}}$$

Частичные суммы получаются следующие:

$$1,\quad \dfrac{10}{9},\quad \dfrac{17}{15},\quad \dfrac{1076}{945},\quad\dots$$

Сижу, ломаю голову, пытаясь угадать закономерность.

Где же она, ария гало?

[EtCetera]

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)\cdot 3^{n-1}}=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\int\limits_0^1 x^{2n-2}\,dx}{3^{n-1}}=\dots$$

[Ktina]

EtCetera, почему?

[EtCetera]

$$\int\limits_0^1 x^{2n-2}\,dx=\dfrac{1}{2n-1}$$

Так понятнее?

[Ktina]

EtCetera в сообщении #764861 писал(а):

$$\int\limits_0^1 x^{2n-2}\,dx=\dfrac{1}{2n-1}$$

Так понятнее?

Так это ж то же самое!

[EtCetera]

Ktina в сообщении #764862 писал(а):

Так это ж то же самое!

Ну да. А Вы про что спрашивали?

[Ktina]

EtCetera в сообщении #764863 писал(а):

Ktina в сообщении #764862 писал(а):

Так это ж то же самое!

Ну да. А Вы про что спрашивали?

Так а как узнать, чему сумма равна?

[EtCetera]

Продолжить двигаться в направлении троеточия.

[Ktina]

EtCetera в сообщении #764865 писал(а):

Продолжить двигаться в направлении троеточия.

Я не понимаю, для чего Вы дробь интегралом заменили. Что это даёт?

[ИСН]

Ну Вы в тот раз арктангенс как нашли, да?

[Ktina]

ИСН в сообщении #764872 писал(а):

Ну Вы в тот раз арктангенс как нашли, да?

Ряд Маклорена?

[provincialka]

В таких задачах решение в общем виде проще, чем в частном. Просто считайте, что $\frac 13 = x$. А еще лучше - $\frac 13 = x^2$.

[ИСН]

Ну да, ряд, и это тоже ряд. Чтобы понять, чей он, надо с ним как-то это самое и потом продифференцировать.

[devgen]

$\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{t}}\int_{0}^{1}x^{2t}dx$
Я не понимать

[ewert]

devgen в сообщении #765041 писал(а):

$\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{t}}\int_{0}^{1}x^{2t}dx$
Я не понимать

Никто не понимать.

Ktina в сообщении #764873 писал(а):

Ряд Маклорена?

"Сударыня, Вас обманули -- Вам дали гораздо лучший мех. Это шанхайские барсы!" В смысле геометрическая прогрессия.