Добрый день. Помогите разобраться с задачей 5.4-2 из книги "Алгоритмы. Построение и анализ" (Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн - 2005 год).
Условие задачи:
Цитата:
Предположим, что b урн наполняются шарами. Каждое опускание шара происходит независимо от других, и шар с равной вероятностью может оказаться в любой урне. Чему равно математическое ожидание количества шаров, которое необходимо опустить для того, чтобы хотя бы в одной урне оказалось два шара?
Я рассуждал так. Пусть X - случайная величина, равная количеству опущенных шаров, обеспечивающих первое появление двух шаров в какой-либо урне. Тогда
![$E[x]=\sum_{i=2}^{n+1}i\cdot{p_i}$ $E[x]=\sum_{i=2}^{n+1}i\cdot{p_i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/9/c79d9f921829d5631abff7b57ed74c0082.png)
, где

.
Посмотрим на

.

, поскольку для того, чтобы 2 опускания шара обеспечили 2 шара в одной урне, второй шар должен попасть туда же, куда и первый, поэтому вероятность этого события равна

.

, поскольку второй шар должен не попасть в ту же урну, что и первый (вероятность этого события равна

), а третий шар должен попасть в урну с первыи или вторым шаром (вероятность этого события равна

).
Рассуждая аналогично, получим:

Свернуть сумму таких

, получив хотя бы приближенную формулу, мне не удалось.
Тогда я попытался использовать аппроксимацию

:

Просуммировать

и в таком виде мне не представляется возможным.
Подскажите, как действовать, чтобы получить формулу (пусть и приближенную) для искомого математического ожидания, в которой не будет содержаться суммирование, т.е. формула будет иметь простой вид.