Асимптотика функции

[Sonic86]

$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{x}\frac{x^k}{k!}$$

Какая у нее асимптотика? Ясно, что $O(\frac{1}{\sqrt{x}})\leqslant \frac{f(x)}{e^x}\leqslant 1$, но как дальше - не знаю. Пытался также сосчитать интеграл $\int\limits_0^x \frac{x^t}{t!}dt$, но тоже ничего не вышло - не умею работать с гамма-функцией

[venco]

Мне кажется, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac {e^x} 2$

[ex-math]

Похоже, venco прав. Если рассмотреть такую же сумму по $k>x$ и зажать между двумя интегралами (пару крайних слагаемых можно оценить отдельно, если что), а потом использовать для гамма-функции формулу Стирлинга, то полученный интеграл оценивается методом Лапласа и дает $e^x/2$. Не обязательно ссылаться на метод Лапласа, можно в лоб приблизить функцию в экспоненте параболой в окрестности максимума.

[Sonic86]

venco в сообщении #618552 писал(а):

Мне кажется, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac {e^x} 2$

ex-math в сообщении #618571 писал(а):

Похоже, venco прав.

Ага, при $x=40$ получилось $\frac{f(x)}{e^x}\approx 0,54$.

ex-math в сообщении #618571 писал(а):

полученный интеграл оценивается методом Лапласа и дает $e^x/2$.

Блин, вот этого я и не знаю А где почитать можно?
И как выглядят эти интегралы? Они с гамма-функцией??!

ex-math в сообщении #618571 писал(а):

Не обязательно ссылаться на метод Лапласа, можно в лоб приблизить функцию в экспоненте параболой в окрестности максимума.

попробую....

[ex-math]

Почитать можно в книгах про асимптотические методы. Что-то такое есть у Евграфова, кажется, "асимптотические оценки и целые функции". Есть глава по асимптотическим методам в физтеховском учебнике по ТФКП авторов Сидорова, Федорюка, Шабунина. У Федорюка есть еще вроде книжка чисто про асимптотические методы.

Это метод нахождения асимптотик интегралов вида

$$ \int_a^bg(x)e^{tf(x)}dx $$

при $t\to\infty$. В случае комплексной $f(x)$ этот метод известен как метод перевала, в вещественном -- метод Лапласа, а в чисто мнимом -- метод стационарной фазы. Тот же прием используется при замене тригонометрической суммы более короткой, когда ищутся асимптотики тригонометрических интегралов. Вам, как теоретико-числовику это должно быть близко. Посмотрите у Карацубы, например. Идея в приближении $f(x)$ и $g(x)$ многочленами Тейлора в окрестности максимума $f(x)$, потому что именно эта окрестность вносит основной вклад в интеграл при большом $t$.

В Вашей задаче после отделения крайних слагаемых, дающих $O(e^x/\sqrt x)$, и применения для гамма-функции формулы Стирлинга (остаток даст опять $O(e^x/\sqrt x)$) получится что-то вроде

$$ \int_x^\infty\left(\frac{ex}t\right)^t\frac{dt}{\sqrt{2\pi t}}=\sqrt{\frac x{2\pi}}\int_1^\infty e^{xy\ln\frac ey}\frac{dy}{\sqrt y}. $$

[sup]

Достаточно формулы Стирлинга. Полагая $x=k+y$ по формуле Стирлинга получим
$\frac{x^k}{k!} \approx \frac{e^x e^{-y^2/{2k}}}{\sqrt {2\pi k}}$
Ну и суммируем по $k$. Слагаемых надо будет взять порядка $\sqrt n$. Тогда $k \approx n$ и все сведется к сумме

$$\sum\limits_{0 \leqslant j<\sqrt n}e^{-j^2/{2n}}$$

Можно и по другому.
Пусть $n < x < n+1$. Тогда
$f'(x)=f(x) - \frac{x^n}{n!}$.
Или
$(e^{-x}f(x))'=-e^{-x}\frac{x^n}{n!} = O(\frac{1}{\sqrt n})$
Отсюда видно, что на интервале $x \in (n,n+1)$ функция $e^{-x}f(x)$ мало отличается от константы. Достаточно оценить ее в какой-нибудь точке. Положим $x=n+1/2$.
Ну а теперь заметим, что для "малых" $j>0$
$\frac{x^{n+j}}{(n+j)!} \approx \frac{x^{n-j}}{(n-j)!}$
Cуммируя эти соотношения получим
$2(f(x) -\frac{x^n}{n!}) \approx e^x-\frac{x^n}{n!}$
А значит
$f(x) \approx e^x/2$

[ИСН]

"Боян, было год назад."
post512175.html#p512175

[RIP]

Для док-ва $f(x)\sim\mathrm e^x/2$ можно воспользоваться соображениями из теории вероятностей, например, как здесь, только с распределением Пуассона вместо гамма-распределения. Кстати, если мой интеграл много раз посчитать по частям, то он выразится через $f(x)$.

[Sonic86]

Ооо, товарищи, спасибо огромное! Буду читать и разбираться!

[venco]

ИСН в сообщении #618596 писал(а):

"Боян, было год назад."
post512175.html#p512175

Я точно так же рассуждал.