распределение средневзвешенного

[AndreyL]

Вопрос такой - какому распределению подчиняется средневзвешенное, если дисперсия оценивается по выборке? Проблема в том, что измерения проводятся с разной точностью. В качестве веса принимается величина, обратная этой точности. Хотелось бы иметь интервальную оценку центра и дисперсии. Собственно проблема именно в законе распределения взвешенной оценки дисперсии, есть подозрение, что распределение отличается от хи-квадрат.

[AndreyL]

Вот пока до чего дошел. Оценка среднего получается как $\bar X = \sum_{i=1}^n x_i w_i \Big/ \sum_{i=1}^n w_i $, где $w_i$ - вес $i$-го измерения.
Оценка дисперсии (если верить Вольфрамовской Математике) $s^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar X)^2 w_i W\Big/ \sum_{i=1}^n (W-w_i)w_i $, где $W=\sum_{i=1}^n w_i $. Правда, откуда взялся такой способ оценки, я не знаю, возможно, кто-то знает и подскажет ссылку на первоисточник (или какой-нибудь источник).
Далее, по идее, статистика $\frac{f s^2}{\sigma^2}$ должна подчиняться распределению Пирсона (хи-квадрат) с $f$ степенями свободы. Вопрос, как рассчитать $f$?

[_hum_]

Вы хотя бы вид выборки написали (как там что "взвешиваете").

[--mS--]

И, главное, зачем. У элементов выборки разные распределения? Они вообще какие?

[AndreyL]

Извиняюсь!
Все элементы выборки $x_i$, $i=1...n$ подчиняются одному нормальному распределению с центром $a$ и стандартом $\sigma$, которые неизвестны.

[_hum_]

AndreyL в сообщении #764575 писал(а):

Все элементы выборки $x_i$, $i=1...n$ подчиняются одному нормальному распределению с центром $a$ и стандартом $\sigma$, которые неизвестны.

Замечательно. Каким боком к ней веса?

[AndreyL]

Например так: измеряется концентрация примеси в некотором объеме. Предполагается, что в этом объеме концентрация этой примеси подчиняется нормальному распределению. Для определения параметров этого нормального распределения отбираются пробы. Но пробы берутся неравномерно, в зависимости от изменчивости концентрации - где она быстро меняется, там почаще. В результате каждая проба отвечает за разную долю объема. Вот и веса.

[_hum_]

AndreyL в сообщении #764728 писал(а):

В результате каждая проба отвечает за разную долю объема. Вот и веса.

Вот это совершенно непонятно. Что за "разная доля объема". И каким образом и для чего формируются веса?

[AndreyL]

Еще проще: пробы отбираются по профилю (прямому линейному) неравномерно. Тогда каждая проба будет отвечать только за половину расстояния до предыдущей пробы плюс половину расстояния до следующей. Это то-же самое, что построить кусочно-линейную функцию концентраций и проинтегрировать, поделив на длину профиля получим среднюю концентрацию. Но хотелось бы еще и дисперсию. А брать пробы по равномерной сетке - больно дорого по нынешним временам.

[provincialka]

Можно ли считать это выборкой? Обычно элементы выборки распределены одинаково. А здесь некая функция от расстояния(?) Т.е. у вас две величины - расстояние и концентрация и нужно найти зависимость между ними. Или я вас неправильно поняла?

[AndreyL]

В данном случае не ставится задача поиска значения функции от расстояния. В примитиве нужно оценить среднее и его дисперсию. Предположим, что изначально это был объем с одинаковой концентрацией во всех точках, а потом, в ходе многих и самых разнообразных процессов произошла дифференциация, и хотелось бы оценить изначальную концентрацию примеси. Точечная оценка не устроит, поскольку не дает возможности сравнивать с аналогичными объектами. Еще неплохо было бы оценить и дисперсию выборки, опять же для сравнения с другими объектами - насколько интенсивно последующие процессы дифференцируют состав в разных объектах.

[_hum_]

AndreyL, вы поймите, мы не телепаты и не специалисты в вашей области, потому фразы "пробы отбираются по профилю (прямому линейному) неравномерно." совершенно ничего не говорят, и даже больше, окончательно сбивают с толку.
Давайте вернемся к началу.

AndreyL в сообщении #764728 писал(а):

измеряется концентрация примеси в некотором объеме. Предполагается, что в этом объеме концентрация этой примеси подчиняется нормальному распределению.

То есть, концентрация примеси является случайной нормально распределенной величиной. Хорошо. Но по времени или по пространству? Допустим пока, по пространству.

AndreyL в сообщении #764728 писал(а):

Для определения параметров этого нормального распределения отбираются пробы. Но пробы берутся неравномерно, в зависимости от изменчивости концентрации - где она быстро меняется, там почаще.

То есть, ваша концентрация меняется еще и во времени?

[AndreyL]

_hum_ в сообщении #764797 писал(а):

То есть, ваша концентрация меняется еще и во времени?

Для определенности возьмем, что концентрация меняется только в пространстве, "быстро меняется" - имеется ввиду что в этих местах предполагались повышенные градиенты концентрации, посему почаще и отбирали.

[provincialka]

То есть вы, по сути, сначала усредняете данные по кускам объёма одинаковой величины. Например, в одном кубометре 1 значение, 231. А в другом кубометре - пять значений, 250, 143, 210, 249, 158. Этому кубометру вы приписываете значение $(250+144+210+249+158)/5=202$. То есть проводите некое сглаживание.

[_hum_]

AndreyL в сообщении #764815 писал(а):

_hum_ в сообщении #764797 писал(а):

То есть, ваша концентрация меняется еще и во времени?

Для определенности возьмем, что концентрация меняется только в пространстве, "быстро меняется" - имеется ввиду что в этих местах предполагались повышенные градиенты концентрации, посему почаще и отбирали.

То есть, у вас средняя концентрация является функцией от пространственных координат, плюс к тому же, в каждой конкретной точке пространства $\mathbf{r}$ она еще и "флуктуирует" случайным образом около этого среднего значения? То есть, описывается гауссовским случайным полем

$$n = n_{\mathbf{r}}(\omega),\quad \mathbf{P}(n_{\mathbf{r}} < u) = \Phi_{m(\mathbf{r}), \sigma^2(\mathbf{r})}(u).$$

Так?