распределение средневзвешенного

[AndreyL]

Цитата:

То есть вы, по сути, сначала усредняете данные по кускам объёма одинаковой величины.

Нет, усреднения не проводится.

Цитата:

То есть, у вас средняя концентрация является функцией от пространственных координат, плюс к тому же, в каждой конкретной точке пространства $\mathbf{r}$ она еще и "флуктуирует" случайным образом около этого среднего значения? То есть, описывается гауссовским случайным полем

$$n = n_{\mathbf{r}}(\omega),\quad \mathbf{P}(n_{\mathbf{r}} < u) = \Phi_{m(\mathbf{r}), \sigma^2(\mathbf{r})}(u).$$

Так?

Не совсем так, скорее совсем не так. Средняя концентрация не является функцией координат - иначе перешел бы к геостатистике (кригинг и иже с ним).

[provincialka]

Ну, я не имею в виду, что вы явно записываете эти средние. Но если вы каждому значению приписываете вес, обратный объёму, из которого он взят, то по сути именно это и произойдет.

[AndreyL]

Вес приписывается не обратный объему, а прямой - тут статистический вес пробы фактически соответствует физическому весу отрезка, за который отвечает эта проба.

[provincialka]

Да, я ошиблась, именно прямой, так и происходит "сглаживание". Чем меньше объем, тем меньше коэффициент. Способ подсчёта теперь ясен. Не очень ясна постановка задачи. Что является случайной величиной, для которой вы хотите найти дисперсию? Ведь ваше среднее не есть, по большому счёту, среднее от величины. Это усреднение по дополнительному параметру.

Навскидку вижу два варианта.
1. Вычисленное вами среднее является оценкой для концентрации вещества во всем объеме. В силу случайности выбора мест проб ее можно считать случайной величиной и именно для нее считать дисперсию.
2. Вы рассматриваете концентрацию как функцию точки и хотите оценить разброс ее значений.
А на самом деле что?

[AndreyL]

Первое.

[AndreyL]

AndreyL в сообщении #764354 писал(а):

Вот пока до чего дошел. Оценка среднего получается как $\bar X = \sum_{i=1}^n x_i w_i \Big/ \sum_{i=1}^n w_i $, где $w_i$ - вес $i$-го измерения.
Оценка дисперсии (если верить Вольфрамовской Математике) $s^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar X)^2 w_i W\Big/ \sum_{i=1}^n (W-w_i)w_i $, где $W=\sum_{i=1}^n w_i $. Правда, откуда взялся такой способ оценки, я не знаю, возможно, кто-то знает и подскажет ссылку на первоисточник (или какой-нибудь источник).
Далее, по идее, статистика $\frac{f s^2}{\sigma^2}$ должна подчиняться распределению Пирсона (хи-квадрат) с $f$ степенями свободы. Вопрос, как рассчитать $f$?

Нашел статью, где есть обоснование оценки дисперсии: RICHARD F. POTTHOFF, MAX A. WOODBURY, and KENNETH G. MANTON. "Equivalent Sample Size" and "Equivalent Degrees of Freedom" Refinements for Inference Using Survey Weights Under Superpopulation Models, Journal of the American Statistical Association, June 1992, Vol. 87. No. 418. Theory and Methods
Идея там в том, что вводится величина, называемая "equivalent sample size" и равная $\tilde{n}=\left( \sum_{i=1}^n w_i \right)^2 \Big/ \sum_{i=1}^n w_i^2$, т.е. эта величина имеет смысл объема выборки, по русски можно, наверное, перевести как "эквивалентный объем выборки". Тогда величина $\frac{f s^2}{\sigma^2}$ подчиняется распределению, близкому к хи-квадрат со степенями свободы $f=\tilde{n}-1$, что дает возможность оценить, в том числе, и дисперсию оценки средневзвешенного и дать его интервальную оценку, поскольку величина $\tilde{n} \frac{\bar X - a}{\sqrt{s^2}}$ подчиняется распределению Стьюдента с $f$ степенями свободы, $a$ - истинный центр.

-- Ср окт 02, 2013 11:25 am --

кинул статью вот сюда
http://www.fayloobmennik.net/3234921