Интегрирование по частям неопределённого интеграла

[Hyperboloid]

С одной стороны, $\int \frac 1 x dx=$$\ln\lvert x \rvert$.
C другой стороны,$\int \frac 1 x dx=$ $\frac 1 x \cdot x$$-\int \frac {-1} {x^2} \cdot x dx$$=1+\int \frac 1 x dx$.
В чём тут подвох, никак не могу понять, объясните, пожалуйста.

[ИСН]

Вы про неопределённый интеграл слышали когда-нибудь? Знаете, зачем в нём после ответа иногда пишутся ритуальные значки $+C$?

[Hyperboloid]

Блин,вот я затупил.Произвольную постоянную $C$ не написал.

[ИСН]

Вопрос исчерпан?

[Hyperboloid]

Да,исчерпан.

[gris]

А можно мне ещё один подвох у этого интеграла обнаружить?

$$\int\frac 1x\,dx=\int\frac 3{3x}\,dx=\int\frac 1{3x}\,d 3x=\ln |3x| +C$$

[Hyperboloid]

Надо мне Фихтенгольца почитать, а то в последнем примере подвох не понял.

[ИСН]

Думайте.

[Hyperboloid]

Если в последнем примере разложить $\ln\lvert 3 x \rvert $ по формуле логарифма произведения,
то получим $\ln \lvert x \rvert$$+\ln 3 + C $.
Я на правильном пути?

[ИСН]

Верно.

[Dan B-Yallay]

Еще про свойства логарифмов почитайте. Алгебру за 7-8 класс кажется.

-- Вт сен 17, 2013 04:40:00 --

О! Уже не надо ...

[_hum_]

И еще такое есть:
$\int \frac{dx}{x-1} = \ln |x-1| + C = \ln |1 - x| + C = \int \frac{dx}{1-x} = -\int \frac{dx}{x-1}.$

[gris]

Ну тут ошибка спрятана, нечестно

[_hum_]

Да, это немного из "другой оперы". Просто подвох, связанный с этой первообразной :)