Рассмотрим аффинное отображение

, где

ортогональный оператор, у которого не все собственные числа равны

.
Лемма. Существует и притом единственная прямая

такая, что

.
Заметим, что исходная задача тривиально следует из данной леммы.
Доказательство. Прямую

будем искать в виде параметрического уравнения

где

-- направляющий вектор прямой.
Надо проверить, что для любого

найдется значение параметра

такое, что

и наоборот. Имеем:

Умножая скалярно левую и правую часть этого равенства на

находим

Подставляя это выражение обратно в формулу (*) с учетом произвольности

получаем

Первое равенство означает, что

-- собственный вектор оператора

т.е.

.
Второе равенство означает, что вектор

параллелен вектору

т.е.

.
Последнее уравнение разрешимо относительно

тогда и только тогда ,когда вектор

перпендикулярен

т.е.

. Это равенство достигается выбором константы

.
И так мы нашли прямую

удовлетворяющую условию

легко проверить, что для этой прямой верно и обратное включение.
ЧТД