Ортогональные преобразования

[ИСН]

ewert в сообщении #764318 писал(а):

отражение происходит или в плоскости поворота, или вдоль оси поворота, и это разные случаи.

Что такое "отражение вдоль оси поворота", я что-то не пойму?

[Munin]

Видимо, отражение относительно плоскости, нормальной оси поворота.

[ИСН]

Ох ну. Тогда что такое "отражение в плоскости поворота"? Я как раз за ним числил это значение, но если оно занято - - -

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #764316 писал(а):

Рассмотрим аффинное отображение $F(x)=Ax+b$, где $A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ортогональный оператор, у которого не все собственные числа равны $\pm 1$.


Лемма. Существует и притом единственная прямая $l$ такая, что $F(l)=l$.

Заметим, что исходная задача тривиально следует из данной леммы.

Доказательство. Прямую $l$ будем искать в виде параметрического уравнения $x(t)=x_0+t\omega,$ где $\omega$ -- направляющий вектор прямой.
Надо проверить, что для любого $t\in\mathbb{R}$ найдется значение параметра $t'$ такое, что $F(x(t))=x(t')$ и наоборот. Имеем:

$$Ax_0+tA\omega+b=x_0+t'\omega\qquad (*)$$

Умножая скалярно левую и правую часть этого равенства на $\omega$ находим

$$t'=\frac{(A\omega,\omega) t+(v,\omega)}{|\omega|^2},\quad v=Ax_0-x_0+b.$$

Подставляя это выражение обратно в формулу (*) с учетом произвольности $t$ получаем

$$A\omega=\frac{(A\omega,\omega)}{|\omega|^2}\omega,\quad v=\frac{(v,\omega)}{|\omega|^2}\omega$$

Первое равенство означает, что $\omega$ -- собственный вектор оператора $A$ т.е. $A\omega=\sigma \omega,\quad \sigma\in\{\pm 1\}$.
Второе равенство означает, что вектор $v$ параллелен вектору $\omega$ т.е. $(A-I)x_0=-b+c\omega$.
Последнее уравнение разрешимо относительно $x_0$ тогда и только тогда ,когда вектор $-b+c\omega$ перпендикулярен $\ker(A-I)^*$ т.е. $(\omega,-b+c\omega)=0$. Это равенство достигается выбором константы $c$.

И так мы нашли прямую $l$ удовлетворяющую условию $F(l)\subseteq l$ легко проверить, что для этой прямой верно и обратное включение.

ЧТД

[Munin]

ИСН в сообщении #764363 писал(а):

Ох ну. Тогда что такое "отражение в плоскости поворота"? Я как раз за ним числил это значение, но если оно занято - - -

В контексте фразы "отражение происходит или в плоскости поворота, или вдоль оси поворота, и это разные случаи", я бы подумал, что "отражение в плоскости поворота" - это отражение относительно плоскости, нормальной данной плоскости ("плоскости поворота"). Хотя диковато звучит, да. Да и после отражения, никакого поворота уже не остаётся...

[ИСН]

Вот да. Ведь комбинация такого отражения с поворотом - это тупо отражение об какую-то другую плоскость.

[djuuj]

Munin в сообщении #764326 писал(а):

- для комплексных (унитарных) матриц - диагональная матрица, коэффициенты которой - единичны по модулю;
- для вещественных ортогональных матриц - блочно-диагональная матрица, блоки которой - либо

$$\begin{pmatrix}\pm 1\end{pmatrix}$$

либо

$$\begin{pmatrix}\cos\varphi_i&\mp\sin\varphi_i\\\sin\varphi_i&\pm\cos\varphi_i\end{pmatrix}$$

Да, это поможет, спасибо. Для $n=3$ это означает, что ортогональный оператор в некотором базисе (я так понимаю ортонормированном?) имеет матрицу

$$ \begin{pmatrix} \cos\varphi &-\sin\varphi &0\\ \sin\varphi &\cos\varphi &0\\ 0 &0 &\pm 1 \end{pmatrix} $$

Тогда отражение (если есть) осуществляется в плоскости, перпендикулярной оси поворота. Поворот вместе с переносом поперёк оси поворота можно осуществить одним поворотом вокруг некоторой оси, параллельной исходной. Остаётся перенос вдоль оси.

Осталось понять что делать, если нет поворота, но есть отражение и перенос. Т.е. можно ли композицию любых отражения и переноса представить как композицию поворота (возможно тождественного) в некоторой плоскости, отражения в этой же плоскости и некоторого переноса в направлении, перпендикулярном этой плоскости?

Oleg Zubelevich в сообщении #764366 писал(а):

Заметим, что исходная задача тривиально следует из данной леммы.

Спасибо за доказательство, но я не понимаю как это относится, например, к вышеуказанному вопросу (если есть только отражение и сдвиг). А что делать, если все собственные числа равны $\pm 1$? Вроде это как раз случай отражения со сдвигом:

$$ A= \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &-1 \end{pmatrix} $$

[ИСН]

djuuj в сообщении #764453 писал(а):

Т.е. можно ли композицию любых отражения и переноса представить как композицию поворота (возможно тождественного) в некоторой плоскости, отражения в этой же плоскости и некоторого переноса в направлении, перпендикулярном этой плоскости?

Нет.
Отражение с переносом параллельно плоскости - это скользящее отражение, то есть отражение и перенос параллельно плоскости. Проще не будет.
Отражение с переносом перпендикулярно плоскости - это просто отражение безо всякого переноса, только в какой-то другой плоскости.

-- менее минуты назад --

Поэтому, например, мне вообще не нравится такое описание, с самого начала. К чёрту плоскости. Лучше через центры инверсии.

[Munin]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #764458 писал(а):

Поэтому, например, мне вообще не нравится такое описание, с самого начала. К чёрту плоскости. Лучше через центры инверсии.

А мне плоскости нравятся. Как без плоскостей описать, например, 4-мерный случай?

[ИСН]

(Оффтоп)

Их проблемы, пусть сами морочатся. 3D - для трёхмерных. Тессеракты - вон! Чемодан, вокзал, 4D!

[Oleg Zubelevich]

djuuj в сообщении #764453 писал(а):

если есть только отражение и сдвиг). А что делать, если все собственные числа равны $\pm 1$? Вроде это как раз случай отражения со сдвигом:

ну тривиальный случай могли бы и сами разобрать.

[djuuj]

ИСН в сообщении #764458 писал(а):

Нет.
Отражение с переносом параллельно плоскости - это скользящее отражение, то есть отражение и перенос параллельно плоскости. Проще не будет.

А если так: делаем поворот в плоскости, перпендикулярной направлению переноса, отражение в этой плоскости, затем перенос? Будет не тоже самое?

[ИСН]

Стояла птица ногами вниз, носом на север. Мы её отразили в горизонтальной плоскости (она стала стоять ногами вверх, но носом всё так же на север) и перенесли (тут ориентация не поменялась). Теперь Вы что спрашиваете? Можно ли добавить к этому ещё какой-то поворот, такой, чтобы при этом ничего не поменять (читай: не повернуть)? Можно: нулевой. Вы хотите ещё какой-то? Какой? Как? Зачем?

[djuuj]

ИСН в сообщении #764521 писал(а):

Вы что спрашиваете?

Учитывая

ИСН в сообщении #764458 писал(а):

Отражение с переносом перпендикулярно плоскости - это просто отражение безо всякого переноса, только в какой-то другой плоскости.

мой вопрос теперь можно сформулировать так: можно ли отражение с переносом параллельно плоскости осуществить отражением с поворотом в плоскости (возможно другой)? Т.е. изначально отражение было в плоскости $\pi$ с переносом, параллельно $\pi$, я хочу осуществить это отражением в некоторой плоскости $\pi '$ с поворотом в плоскости $\pi '$.

[ИСН]

Скользящее отражение не оставляет на месте ни одной точки. Уж по крайней мере те, которые были сверху от плоскости, стали снизу (скольжение на этот факт не влияет), и наоборот. А те, которые были в самой плоскости, от отражения вовсе не пострадали, но по скольжению тоже куда-то съехали. Так.
А Ваше отражение с поворотом - оставляет на месте ту точку, которая стоит на пересечении плоскости и оси вращения.
Это значит что?