Взятие интеграла

[Mitrandir]

Добрый день,
интегралы не брал уже несколько лет (не было необходимости), а теперь вот понадобилось уметь брать интегралы ...
Подскажите пожалуйста как брать интегралы такого типа:
$\int\limits_{-\inf}^{\inf} p_i^2\cdot \dfrac{1}{e^{p}-1}d\bar{p}$
в показателе экспоненты стоит модуль вектора $p$.
Если записать в декартовых координатах то получается:
$\int\limits_{-\inf}^{\inf} p_i^2\cdot \dfrac{1}{e^{\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2}}-1}d^3{p}$
Предполагаю что нужно использовать сферические координаты что избавит от необходимости раскладывать показатель экспоненты и для каждого i нужно взять свой интеграл($\bar{p}= pe_p+p\Theta e_{\Theta}+p\sin(\Theta)\Phi e_{\Phi} $):
$i=1:(p)\qquad \int\limits_{0}^{\inf} p^2\cdot \dfrac{1}{e^{p}-1} 4\pi p^2d{p}$
$i=2(\Theta):\qquad \int\limits_{0}^{\inf}\int\limits_{0}^{\pi} (p\Theta)^2\cdot \dfrac{1}{e^{p}-1} 2\pi p^2\sin(\Theta)d{p}d\Theta$
$i=2(\Phi):\qquad \int\limits_{0}^{\inf}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} p^2\sin^2(\Theta)\Phi^2 \cdot \dfrac{1}{e^{p}-1} 2\pi p^2\sin(\Theta)d{p}d\Theta d\Phi$

В этом случае (случае сферических координат) интегралы вполне себе берутся...
Так ли это? Или я не правильно понимаю сферическую СК? Как брать интеграл в декартовых координатах?

[ИСН]

Начиная с букв $e_p$ и $e_\Theta$ (включительно), полностью теряю смысл происходящего.

[Mitrandir]

я так записал вектор покомпонентно в сферической системе координат, надо думать неверно ... и сферическую систему я не понимаю
А дальше брал компоненту и записывал интеграл

[ewert]

Mitrandir в сообщении #764054 писал(а):

и для каждого i нужно взять свой интеграл

Не нужно. Из соображений симметрии достаточно посчитать самый простой из них -- для $z$.

[Mitrandir]

для декартовой да, я для сферической написал что нужно ведь там нет симметрии

[ewert]

Что значит "для декартовой"? У Вас изначально не было вообще никаких координат, была лишь проекция на некоторую абстрактную ось. И результат не зависит от того, куда эта ось направлена. Вот и выберите по отношению сферическим координатам такое направление, для которого проще считать.

[Mitrandir]

То есть предполагается что сферическую да и любую другую СК можно повернуть так как будет удобно, и выбрав так чтобы зависимость от углов отсутсвовала ... отлично, надо попробовать.