Иррациональное выражение

[provincialka]

(Оффтоп)

Ward, странно, что вы беретесь решать такие задачи, раз вы не можете понять практически готового решения, которое вам дали.

[bot]

Ward в сообщении #763686 писал(а):

Я не могу понять связь

А этого и не надо понимать. Доказывается более сильное утверждение.
Посмотрите последнюю строчку и задайте себе вопросы:
1. Сколько корней у квадратного уравнения, если они есть?
2. Что получится, если их сложить?
3. Как связаны корни делимого и делителя?
4. Какие корни у делимого?
5. Что получится, если сложить какие-то два из них.
6. Почему в результате сложения получается противоречие с индуктивным предположением. Рассмотрите случаи $m=0$ и $0<m\leqslant k$.

-- Сб сен 14, 2013 17:35:27 --

Цитата:

А этого и не надо понимать

Во сказанул. Вообще то надо, но ... не надо

[Ward]

Впринципе все понятно теперь благодаря Вам, но не могу понять последний момент: почему $P(x)$ делится на $p_2(x)$?
Ну то, что $\alpha$ их совместный корень это понятно.
Но ведь у $p_2(x)$ имеется же еще второй корень?!

[bot]

Если не делится, то каков остаток, с какими коэффициентами? Что получится, если альфу в остаток подставить?

[Ward]

Cash в сообщении #763409 писал(а):

Тогда $\alpha = a_1\sqrt{b_1}+\cdots+a_k\sqrt{b_k}$ не может быть целым.
Предположим, что $\alpha$ - корень некоторого многочлена $p_2(x) = x^2+bx+c$ с целыми коэффициентами.
Справедливы следующие утверждения:
1. $P(x)$ - многочлен степени $2^k$ с целыми коэффициентами.

Как доказать эти утверждения? Помогите пожалуйста

[nnosipov]

Ward в сообщении #771166 писал(а):

Как доказать эти утверждения? Помогите пожалуйста

Например, индукцией по $k$.

[Null]

Cash в сообщении #763409 писал(а):

2. $P(x)$ делится на $p_2(x)$.

Если $\alpha$ целое то это не правда. В решении ни где не использовалось что $b_k$ разные или что они свободны от квадратов.

[Cash]

Null в сообщении #771443 писал(а):

Если $\alpha$ целое то это не правда

Поэтому я отдельно выделил фразу о том, что по предположении индукции $\alpha$ не может быть целым.

Null в сообщении #771443 писал(а):

В решении ни где не использовалось что $b_k$ разные или что они свободны от квадратов

Неужели?