целые решения уравнения второй степени

[TTT]

всем привет.

мне надо найти целое $x$, при котором полином $x^2-x-A$, где $A - $целое, был бы квадратом чётного числа.

я записал это так:
$x^2-x-A=4y^2$ $(x-1/2)^2-4y^2=A+1/4$ $(2x-1-4y)(2x-1+4y)=4A+1$
дальше можно разложить $4A+1$ и подстановкой найти целые решения.
Смущает зависимость от числа множителей.Их может быть очень много.
Есть ли какие-то другие варианты решения без разложения $4A+1$,т.е. без перебора?

Большое спасибо за внимание.

[незваный гость]

Вообще говоря, разложение на множители — это не перебор. Например $4A+1 = 1 \times (4A + 1)$.

Во-вторых, всякое ли разложение на множители даст нужный Вам результат?

В-третьих, а кто сказал, что решений должно быть мало? Или что они существуют?

[TTT]

1.я имел ввиду перебор полученных множителей.

2. да с разложением что-то не то.. не всё им ловится

3. мне без разницы сколько, хотя я понимаю, что их может быть много, но конечное число. мне надо найти хотя бы одно нетривиальное решение.

[незваный гость]

TTT писал(а):

2. да с разложением что-то не то.. не всё им ловится

Вы внимательно поанализируйте разложение. Оно совершенно правильное необходимое условие.

[maxal]

TTT писал(а):

$(2x-1-4y)(2x-1+4y)=4A+1$
дальше можно разложить $4A+1$ и подстановкой найти целые решения.
Смущает зависимость от числа множителей.Их может быть очень много.
Есть ли какие-то другие варианты решения без разложения $4A+1$,т.е. без перебора?

Во-первых, не всякое разложение 4A+1 в произведение двух множителей дает решение. Множители должны давать одинаковые остатки при делении на 8 (а поэтому, в частности, A должно быть четным числом). Каждое такое разложение будет давать решение.
Во-вторых, без разложения 4A+1 на множители не обойтись. Дело в том, любое решение исходного уравнения будет автоматически давать некоторое разложение 4A+1 на множители указанного вида. Поэтому эти задачи эквивалентны.

[Батороев]

TTT писал(а):

всем привет.

мне надо найти целое $x$, при котором полином $x^2-x-A$, где $A - $целое, был бы квадратом чётного числа.

$ x = A + 1 $
(при $ A $ - четных)
$ x =\frac{A+4}{3} $
(при $ A\equiv 2(mod 6) $)
. . . . .