Найти область сходимости ряда

[Ktina]

Найти область сходимости ряда:

$$\sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{x^n n!}{n^n}$$

Радиус сходимости, кажется, будет равен $e$, так как

$$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n (n+1)!}=e$$

А что у нас происходит на концах, особенно на левом?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[bot]

Подсказка: $\left(1+\frac1n\right)^n$ растёт.

[Ktina]

bot в сообщении #763089 писал(а):

Подсказка: $\left(1+\frac1n\right)^n$ растёт.

Но он же не бесконечно растёт, у него же предел равен $e$...

[gris]

На концах можно и Стирлинга подключиь. Там дополнительный множитель и сработает.

[Ktina]

gris в сообщении #763091 писал(а):

На концах можно и Стирлинга подключиь. Там дополнительный множитель и сработает.

$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Это?

-- 12.09.2013, 08:57 --

Тогда общий член не стремится к нулю. На правом конце.

-- 12.09.2013, 08:59 --

Ну и на левом тогда тоже

-- 12.09.2013, 09:00 --

Тогда область получется

$$-e<x<e$$

[gris]

Хотя и можно Д'Аламбером, только не в предельной форме, как указал bot. Дело именно в росте знаменателя, который не достигает числителя.

[bot]

Собственно это даже и не Д'Аламбер, а необходимый признак.

[gris]

Совершенно согласен. Просто там асимптотика слишком бросается в глаза, чтобы начать ковыряться в дробях . Но с учебной точки зрения, конечно, лучше поковыряться, тем более, что формула Стирлинга проходится значительно позднее (?).

В своё оправдание замечу, что для ряда

$$\sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{x^n n^n}{n!}$$

уже и необходимого признака, да и Д'Аламбера маловато будет.

Кстати, на мотив сообщения bot придумалась простенькая задачка: придумать ряд с положительными членами, который почти весь возрастает, но сходится.