2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти область сходимости ряда
Сообщение12.09.2013, 08:40 
Аватара пользователя
Найти область сходимости ряда: $$\sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{x^n n!}{n^n}$$
Радиус сходимости, кажется, будет равен $e$, так как
$$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n (n+1)!}=e$$
А что у нас происходит на концах, особенно на левом?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение12.09.2013, 08:45 
Аватара пользователя
Подсказка: $\left(1+\frac1n\right)^n$ растёт.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение12.09.2013, 08:48 
Аватара пользователя
bot в сообщении #763089 писал(а):
Подсказка: $\left(1+\frac1n\right)^n$ растёт.

Но он же не бесконечно растёт, у него же предел равен $e$...

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение12.09.2013, 08:49 
Аватара пользователя
На концах можно и Стирлинга подключиь. Там дополнительный множитель и сработает.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение12.09.2013, 08:50 
Аватара пользователя
gris в сообщении #763091 писал(а):
На концах можно и Стирлинга подключиь. Там дополнительный множитель и сработает.

$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$
Это?

-- 12.09.2013, 08:57 --

Тогда общий член не стремится к нулю. На правом конце.

-- 12.09.2013, 08:59 --

Ну и на левом тогда тоже :D

-- 12.09.2013, 09:00 --

Тогда область получется $$-e<x<e$$

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение12.09.2013, 09:08 
Аватара пользователя
Хотя и можно Д'Аламбером, только не в предельной форме, как указал bot. Дело именно в росте знаменателя, который не достигает числителя.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение12.09.2013, 09:13 
Аватара пользователя
Собственно это даже и не Д'Аламбер, а необходимый признак.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение12.09.2013, 09:19 
Аватара пользователя
Совершенно согласен. Просто там асимптотика слишком бросается в глаза, чтобы начать ковыряться в дробях :-) . Но с учебной точки зрения, конечно, лучше поковыряться, тем более, что формула Стирлинга проходится значительно позднее (?).

В своё оправдание замечу, что для ряда $$\sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{x^n n^n}{n!}$$ уже и необходимого признака, да и Д'Аламбера маловато будет.

Кстати, на мотив сообщения bot придумалась простенькая задачка: придумать ряд с положительными членами, который почти весь возрастает, но сходится.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group