2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение11.09.2013, 22:41 
Аватара пользователя


21/02/13
125
Санкт-Петербург
Задача: доказать, что многочлен $x^3-x+1$ неприводим надо полем из 81 элемента.
Мои мысли: предположим, что приводим. Тогда поле из 81 элемента содержит его корень. Тогда этот корень является корнем многочлена $x^{81}-x$. Но этот многочлен есть произведение унитарных неприводимых многочленов, степени которых делят 4. Т.е это произведение многочленов степени 4, 2, 1. Где-то тут должно быть противоречие, но где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение12.09.2013, 04:08 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
sopor в сообщении #763019 писал(а):
Но этот многочлен есть произведение унитарных неприводимых многочленов, степени которых делят 4.
Вот здесь стоп. Неприводимых над каким полем? И причём здесь наш $x^3-x+1$, который действительно неприводим над полем из $81$ элемента?

Вообще, Ваш пример --- это частный случай более общего утверждения. Можно найти в каком-нибудь учебнике (Лидл, Нидеррейтер, "Конечные поля"). Попробуйте обобщить и доказать. Для доказательства неприводимости можно воспользоваться критерием Батлера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение12.09.2013, 07:40 
Аватара пользователя


21/02/13
125
Санкт-Петербург
Неприводимых над полем из 3 элементов. У нас поле из 81 элемента состоит их корней многочленов степени 1, 2, 4, неприводимых над полем из 3 элементов. А тут у нас получается, что в нем должен быть и корень многочлена 3 степени, неприводимого над полем из 3 элементов. Разве такое возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение12.09.2013, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Это поле не из корней состоит. Прочтите правильное определение. Что такое фактор по идеалу знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение12.09.2013, 08:13 
Аватара пользователя


21/02/13
125
Санкт-Петербург
Да, знаю. Но любые 2 поля, состоящие из равного конечного числа элементов, изоморфны. А поле из 81 элемента можно построить как поле разложения многочлена $x^{81}-x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение12.09.2013, 08:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
sopor в сообщении #763085 писал(а):
А поле из 81 элемента можно построить как поле разложения многочлена $x^{81}-x$

И как?
Впрочем строить его не обязательно. Многочлен 3-й степени, если он приводим, то ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group