Неприводимость многочлена над конечным полем

[sopor]

Задача: доказать, что многочлен $x^3-x+1$ неприводим надо полем из 81 элемента.
Мои мысли: предположим, что приводим. Тогда поле из 81 элемента содержит его корень. Тогда этот корень является корнем многочлена $x^{81}-x$. Но этот многочлен есть произведение унитарных неприводимых многочленов, степени которых делят 4. Т.е это произведение многочленов степени 4, 2, 1. Где-то тут должно быть противоречие, но где?

[nnosipov]

sopor в сообщении #763019 писал(а):

Но этот многочлен есть произведение унитарных неприводимых многочленов, степени которых делят 4.

Вот здесь стоп. Неприводимых над каким полем? И причём здесь наш $x^3-x+1$, который действительно неприводим над полем из $81$ элемента?

Вообще, Ваш пример --- это частный случай более общего утверждения. Можно найти в каком-нибудь учебнике (Лидл, Нидеррейтер, "Конечные поля"). Попробуйте обобщить и доказать. Для доказательства неприводимости можно воспользоваться критерием Батлера.

[sopor]

Неприводимых над полем из 3 элементов. У нас поле из 81 элемента состоит их корней многочленов степени 1, 2, 4, неприводимых над полем из 3 элементов. А тут у нас получается, что в нем должен быть и корень многочлена 3 степени, неприводимого над полем из 3 элементов. Разве такое возможно?

[bot]

Это поле не из корней состоит. Прочтите правильное определение. Что такое фактор по идеалу знаете?

[sopor]

Да, знаю. Но любые 2 поля, состоящие из равного конечного числа элементов, изоморфны. А поле из 81 элемента можно построить как поле разложения многочлена $x^{81}-x$

[bot]

sopor в сообщении #763085 писал(а):

А поле из 81 элемента можно построить как поле разложения многочлена $x^{81}-x$

И как?
Впрочем строить его не обязательно. Многочлен 3-й степени, если он приводим, то ...