Определение борелевских множеств и борелевских сигма-алгебр

[Rasool]

Читаю книгу по основам стохастической финансовой математики Shreve S.E. Stochastic calculus for finance II. Continuous-time models, параллельно просматривая математические определения в других источниках.

В Шриве дается такое определение борелевских сигма-алгебр и борелевских множеств:

Цитата:

The ($\sigma$-algebra obtained by beginning with closed intervals and adding everything else necessary in order to have a $\sigma$-algebra is called the Borel $\sigma$-algebra of subsets of [0,1] and is denoted $\mathcal{B}$[0,1]. The sets in this $\sigma$-algebra are called Borel sets. These are the subsets of [0,1], the so-called events, whose probability is determined once we specify the probability of the closed intervals. Every subset of [0,1] we encounter in this text is a Borel set, and this can be verified if desired by writing the set in terms of unions, intersections, and complements of sequences of closed intervals.

В Феллере (Феллер, "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", т.2) борелевское множество определяется как множество A в $\mathscr{R}^r$, индикатор которого $I_A$ есть бэровская функция.

В "Математической энциклопедии"
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/560/%D0%91%D0%9E%D0%A0%D0%95%D0%9B%D0%95%D0%92%D0%A1%D0%9A%D0%9E%D0%95#sel=4:1,4:24
B - множество - это множество, которое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологического пространства.

В Википедии Борелевская сигма-алгебра определяется, как минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми.

Можно ли считать при дальнейшем чтении Шрива, что борелевское множество в $\mathcal{B}$[0,1] - это всевозможные открытые интервалы $[a, b]$, полуоткрытые полуинтервалы $(a, b]$ и $[a, b)$, закрытые отрезки $(a, b)$ и их всевозможные счётные объединения на [0,1]?

[ewert]

Rasool в сообщении #762906 писал(а):

борелевское множество в $\mathcal{B}$[0,1] - это всевозможные открытые интервалы $[a, b]$, полуоткрытые полуинтервалы $(a, b]$ и $[a, b)$, закрытые отрезки $(a, b)$ и их всевозможные счётные объединения на [0,1]?

Млжно ли таким способом получить, скажем, канторово множество?...

[g______d]

Rasool в сообщении #762906 писал(а):

Можно ли считать при дальнейшем чтении Шрива, что борелевское множество в $\mathcal{B}$[0,1] - это всевозможные открытые интервалы $[a, b]$, полуоткрытые полуинтервалы $(a, b]$ и $[a, b)$, закрытые отрезки $(a, b)$ и их всевозможные счётные объединения на [0,1]?

Нет, нельзя. Операции взятия счетного объединения и пересечения можно итерировать, и это не всегда сводится к одной операции. Обсуждалось здесь: topic69508.html

[Rasool]

Тогда такой вопрос. При дальнейшем изучении финансовой математики, в частности по Шриву, является ли необходимым хорошее знание борелевских множеств и борелевских сигма-алгебр?

[provincialka]

(Оффтоп)

Не читала Шрива, но даже вопрос о таких тонкостях, как Борелевские множества в связи с финансовой математикой у меня бы не возник. В реальных задачах все дискретно. Математические сложности нужны для доказательства математических же теорем. А вам что надо - доказательства или приложения?

[_hum_]

provincialka

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #762970 писал(а):

Не читала Шрива, но даже вопрос о таких тонкостях, как Борелевские множества в связи с финансовой математикой у меня бы не возник. В реальных задачах все дискретно. Математические сложности нужны для доказательства математических же теорем. А вам что надо - доказательства или приложения?

Это сродни тому, что заявить - вещественные числа не нужно изучать, все равно в практике используются максимум рациональные.

Непрерывные случайные величины, случайные процессы, стохастические интегралы, стохастические дифф. уравнения и проч. - все это используется в финансовой математике и опирается на борелевскую алгебру.

[Rasool]

Понятно, спасибо, _hum_.

[ewert]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #762981 писал(а):

вещественные числа не нужно изучать,

Их в известном смысле и впрямь не нужно изучать -- к ним нужно лишь приучать. И практически очень мало кого обучают им в точном смысле и вполне добросовестно -- овчинка выделки не стоит. "Привычка свыше нам дана, // Замена счастию она"; для дальнейших целей подобной замены, как правило, более чем достаточно.

[_hum_]

ewert

(Оффтоп)

Речь шла о необходимости самого понятия вещественного числа, а не математически строгих его определений. Потребность в понятии появилась уже в античности, когда нужно было как-то решить проблему соизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Потребность в аксиоматизации - значительно позднее.
Проводя аналогию - важно усвоить само понятие борелевской алгебры. И при этом не обязательно досконально изучать все ее математические свойства (иерархии борелевских множеств и проч.)

[provincialka]

Согласна с ewert - по настоящему вещественным числам не обучают ни в школе, ни в большинстве вузов. Вот у меня на матан 3 семестра, по 3 часа лекций. Я что, аксиоматическую теорию вещественного числа буду давать? Конечно, расскажу про полноту прямой, про супремум с инфимумом. "Отмечусь", так сказать. Но сильно подозреваю, что поймут процентов 5.

Так и с борелевскими множествами, мерой Лебега и т.п. Все зависит от цели изучения. Чего человек хочет: стать специалистом-теоретиком и создавать новые методы и теории, или просто применять эти теории на практике. Доказали математики, что все, что надо, сходится, куда надо - и хорошо.

[_hum_]

provincialka

(Оффтоп)

Прискорбно, что вы как преподаватель так думаете. Математика - это не набор готовых результатов, которые достаточно знать и пользоваться, а в первую очередь инструмент, который помогает строить модели и проводить анализ.
А нужно это потому, что в реальности нет готовых теорем и результатов для всех случаев, потому в каждой конкретной ситуации приходится в сущности заново строить математические модели и получать для нее результаты. А чтобы это сделать, нужно владеть мат. аппаратом наравне со средним математиком. И даже если есть уже готовые результаты, надо уметь обосновывать их адекватность их использования. То есть, опять уметь заново все "вывести".
В противном случае получается "специалист", который - шаг вправо, шаг влево от проторенной тропинки, и он уже не знает, как быть.

[provincialka]

Я просто реалист (а, может, пессимист). Не думаю я, что это возможно. Такие заумные вещи, как $\sigma$-алгебры, измеримые функции, интеграл Лебега нужны только для формального обоснования теории, для математической строгости. Неужели существует реальный процесс, который нельзя описать непрерывной или хотя бы кусочно-непрерывной функцией? И обойтись Римановским интегралом? Нет, конечно, некоторое представление обо всем иметь надо. Но не обязательно разбираться досконально, как специалист по функану. В конце концов для того и придумана человечеством специализация.

(Оффтоп)

Вся ситуация напоминает мне один исторический анекдот. Как-то к Моцарту пришел молодой человек и спросил, как написать симфонию. Моцарт посоветовал ему начать с небольших вещей. "Но, маэстро, ведь вы писали симфонии еще в детстве!". "Да, но я не спрашивал, как это надо делать". Наш же ТС - спрашивает.

[Rasool]

_hum_ в сообщении #763067 писал(а):

provincialka

(Оффтоп)

Прискорбно, что вы как преподаватель так думаете. Математика - это не набор готовых результатов, которые достаточно знать и пользоваться, а в первую очередь инструмент, который помогает строить модели и проводить анализ.
А нужно это потому, что в реальности нет готовых теорем и результатов для всех случаев, потому в каждой конкретной ситуации приходится в сущности заново строить математические модели и получать для нее результаты. А чтобы это сделать, нужно владеть мат. аппаратом наравне со средним математиком. И даже если есть уже готовые результаты, надо уметь обосновывать их адекватность их использования. То есть, опять уметь заново все "вывести".
В противном случае получается "специалист", который - шаг вправо, шаг влево от проторенной тропинки, и он уже не знает, как быть.

Т.е. почитать книги по функану все-таки придется? Например, Колмогорова, Фомина?

[provincialka]

Вы читали притчу про Моцарта чуть выше? Если есть силы, если получается - читайте, старайтесь понять. Мы же не знаем ваших обстоятельств.

[Rasool]

provincialka в сообщении #763287 писал(а):

Вы читали притчу про Моцарта чуть выше? Если есть силы, если получается - читайте, старайтесь понять. Мы же не знаем ваших обстоятельств.

У меня за плечами инженерная специальность технического вуза с 3-х семестровым курсом матанализа и 1-семестровым курсом теории вероятности. Т.е. немного Фихтенгольца и Гмурмана. Еще читал Мендельсона "Введение в мат. логику, Кузнецова "Введение в дискретную математику". Параллельно со Шривом читал Феллера т.2.