Современное состояние математики

[Fractals.RU]

Котофеич писал(а):

Не нужно беспокоиться. Эта проблема всегда была и всегда преодолевалась за счет
расслоения на все более и более узкие специализации. Другое дело, что каждый математик обычно знает и понимает,
только что то из своей узкой области, а в других вопросах ничерта
не смыслит. Но это не проблемы науки, а конкретных ученых.

Хм, скорее науки ... imho

Вот любопытная ветка "... Нужно подтверждение неформализуемости понятия! ..."
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=6882&start=45

Котофеич писал(а):

Ваш друг не морализует, а делает правильные логические выводы из теоремы
о полноте, которую в отличие от Дэвиса многие другие пока даже не удосужились почитать
или читали но как всегда не поняли

Да, Поппер ...

Котофеич писал(а):

Не умеют решит не одно уравнение, как Вы выразились, а почти любое, представляющее принципиальный интерес
для других фундаментальных наук. Это достаточно нехороший симптом,

И тут же

Котофеич писал(а):

разумеется прогрессу в целом это мешать не может.

Хм , Вы противоречите сами себе ...

[BorysB]

Хотел поделится тем, что я слышал, видел, и с чем сталкивался...

1) Теорема Геделя. Тут нечего добавить, разве что метод доказательства от противного теряет смысл.

2) Огромное количество NP-полных задач. Я где-то читал, что их уже около 1000 классов. Практика показывает, что наиболее актуальные практические задачи -- NP полные. Я нихочу никого обидеть, но если посмотреть правде в глаза, едва ли найдется какая-то задача, решение которой окажет такое-же влияние на мир, как решение единственной NP-полной задачи. Вспомнить хотя бы гипотезу Пуанкаре.. Да, проблема, безусловно, сложная и говорили о ней много, но как ее решение отразилось на нашей жизни? Решение же одной NP-полной задачи автоматически дает решение всех.

3) Современная математика работает на одном классе утверждений, на классе истинных утверждений. Цепочки доказательств в математике строятся с помощью правила модус поненс ((A & A -> B) -> B) на истинных утверждениях. Ложные утверждения никак не используются в доказательствах, но в них имеется полезная информация. В теории распознавания доказаны теоремы, что процедуры работающие не на всех классах объектов, работают непредсказуемо плохо.

[RostAN]

Я голосовал за кризис на основании исторического факта введения Эр. Декартом, П. Ферма, И. Ньютоном ортонормированной системы координат в эвклидовом пространстве и утратой в связи с этим относительного отражения связности процессов действительного Мира.
Подключайтесь к обсуждению новой геометрической кривой.

PAV:

Замечание за оффтопик

[Yuri Gendelman]

BorysB писал(а):

1) Теорема Геделя. Тут нечего добавить, разве что метод доказательства от противного теряет смысл.

Теорема Геделя не отменила метод доказательства от противного. Она лишь показала, что применять его можно не всегда.

BorysB писал(а):

2) Огромное количество NP-полных задач.
...едва ли найдется какая-то задача, решение которой окажет такое-же влияние на мир, как решение единственной NP-полной задачи.

Это еще и автоматически докажет, что $NP = P$.
Ну а если выяснится, что $NP \neq P$? Тогда этот вывод отразится на нашей жизни не более, чем доказательство теоремы Ферма или гипотезы Пуанкаре.

BorysB писал(а):

3) Современная математика работает на одном классе утверждений, на классе истинных утверждений. ... Ложные утверждения никак не используются в доказательствах, но в них имеется полезная информация. В теории распознавания доказаны теоремы, что процедуры работающие не на всех классах объектов, работают непредсказуемо плохо.

В полной теории любое истиное высказывание может быть выведено с помощью заданных правил вывода. Теорема Геделя как раз и показывает, что есть неполные теории.
И еще, ложные утверждения используются - они ведь строятся в процессе доказательства. Роль их и состоит в том, что они отбрасываются и отсекают лишние ветви дерева решения.

С замечанием о том, что "в ложных утверждениях имеется полезная информация" я согласен. По-моему это - вопрос техники доказательства. Например, как использовать эту информацию для эффективного распознавания ложных утверждений.

[Someone]

BorysB писал(а):

Теорема Геделя. Тут нечего добавить, разве что метод доказательства от противного теряет смысл.

Какое отношетие теорема Гёделя имеет к методу доказательства "от противного"?

[Котофеич]

Fractals.RU писал(а):

Котофеич писал(а):

Не нужно беспокоиться. Эта проблема всегда была и всегда преодолевалась за счет
расслоения на все более и более узкие специализации. Другое дело, что каждый математик обычно знает и понимает,
только что то из своей узкой области, а в других вопросах ничерта
не смыслит. Но это не проблемы науки, а конкретных ученых.

Хм, скорее науки ... imho

Вот любопытная ветка "... Нужно подтверждение неформализуемости понятия! ..."
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=6882&start=45

Котофеич писал(а):

Ваш друг не морализует, а делает правильные логические выводы из теоремы
о полноте, которую в отличие от Дэвиса многие другие пока даже не удосужились почитать
или читали но как всегда не поняли

Да, Поппер ...

Котофеич писал(а):

Не умеют решит не одно уравнение, как Вы выразились, а почти любое, представляющее принципиальный интерес
для других фундаментальных наук. Это достаточно нехороший симптом,

И тут же

Котофеич писал(а):

разумеется прогрессу в целом это мешать не может.

Хм , Вы противоречите сами себе ...

Да нет. Вы наверное просто не знаете, что невероятно сложные уравнения можно успешно решать и без помощи математики, например с помочю компьютерных технологий.

Добавлено спустя 47 минут 55 секунд:

BorysB писал(а):

Хотел поделится тем, что я слышал, видел, и с чем сталкивался...

1) Теорема Геделя. Тут нечего добавить, разве что метод доказательства от противного теряет смысл.

2) Огромное количество NP-полных задач. Я где-то читал, что их уже около 1000 классов. Практика показывает, что наиболее актуальные практические задачи -- NP полные. Я нихочу никого обидеть, но если посмотреть правде в глаза, едва ли найдется какая-то задача, решение которой окажет такое-же влияние на мир, как решение единственной NP-полной задачи. Вспомнить хотя бы гипотезу Пуанкаре.. Да, проблема, безусловно, сложная и говорили о ней много, но как ее решение отразилось на нашей жизни? Решение же одной NP-полной задачи автоматически дает решение всех.

3) Современная математика работает на одном классе утверждений, на классе истинных утверждений. Цепочки доказательств в математике строятся с помощью правила модус поненс ((A & A -> B) -> B) на истинных утверждениях. Ложные утверждения никак не используются в доказательствах, но в них имеется полезная информация. В теории распознавания доказаны теоремы, что процедуры работающие не на всех классах объектов, работают непредсказуемо плохо.

Смею Вас заверить, что теория распознавания точно также как и другие теории из области ветеринарных наук, при всей их очевидной полезности, не могут служить критерием определяющим целесобразность математики. И потом с чего Вы взяли, что прогресс в области математики должен отразиться на нашей или вообще на чьей то жизни

[Fractals.RU]

Котофеич писал(а):

Да нет. Вы наверное просто не знаете, что невероятно сложные уравнения можно успешно решать и без помощи математики, например с помочю компьютерных технологий.

Да ... "с помочю компьютерных технологий. "

[Котофеич]

Fractals.RU писал(а):

Котофеич писал(а):

Да нет. Вы наверное просто не знаете, что невероятно сложные уравнения можно успешно решать и без помощи математики, например с помочю компьютерных технологий.

Да ... "с помочю компьютерных технологий. "

Вот именно, что с помочю компьютерных технологий.

[BorysB]

Цитата:

Смею Вас заверить, что теория распознавания точно также как и другие теории из области ветеринарных наук, при всей их очевидной полезности, не могут служить критерием определяющим целесобразность математики. И потом с чего Вы взяли, что прогресс в области математики должен отразиться на нашей или вообще на чьей то жизни

Действительно, не знаю даже что и сказать...

Цитата:

Да нет. Вы наверное просто не знаете, что невероятно сложные уравнения можно успешно решать и без помощи математики, например с помочю компьютерных технологий.

Насколько я знаю, нет. Безусловно, компьютер может найти локальный максимум функции от нескольких переменных с несколькими ограничениями. Но я имел ввиду задачи несколько другие... Например, как предсказать взаимодействие двух молекул состоящих из 100 тыс. атомов каждая. Или найти молекулу, которая будет взаимодействовать с данной определенным образом. Например, иммунная система строит высокоспецифичные антитела к искусственно созданым молекулам, которых на земле никогда раньше не было. Притом делает это за несколько часов.

[eprst]

бобыль писал(а):

В советское время определить это было довольно легко: достаточно было посмотреть, какие книги переводят крупнейшие советские издательства, особенно изд-во Мир. И таких модных теорий, судя по переводам, было полным-полно. Возьмите хотя бы 30-40 лет назад: нестандартный анализ, нелинейный анализ, выпуклый анализ, оптимальное управление, математическое программирование, численные методы, алгоритмические языки, математическая логика, дискретная математика, нечеткие множества, распознавание образов, теория игр, теория катастроф, фракталы и т.д. и т.п. Все это были молодые, быстро развивающиеся теории... А сегодня что?

Именно тогда бизнес понял приимущества IT, точнее теории успели заявить(10-15 лет) о себе, а потом американец с неприличнопроизносимой фамилией подсадил всех на программируемый калькулятор

бобыль писал(а):

Разве что вейтлеты. Ну, коды и шифры... Нет, правда, а еще что?

Телекоммуникационные корпорации приближаются по доходам к нефтянникам, а вейвлеты, коды, шифры и т.д. способ связи между IT-элементами.
Вопрос такой, направление развитие науки определяет тот кто ее двигает или платит?А вдруг этот злой дядька определит двигаться в бок (или уже определил )... Да и в свете этих вопросов возникает еще один "На чьей жизни отражается динамика системы? "
ЗЫ Кстати, с кодами нынче тоже спад, основные алгоритмы разработаны лет 15-20 назад(правда и сейчас есть неплохие наработки), шифры на коне "ибо нет ничего ценнее информации", а вейвлеты предоставляют хорошую теоретическую базу для современного кодирования и шифрования. Так что все в духе времени
ЗЗЫ Но что-то мне подсказывает, что это прогресс не науки, а скорее умения пользоваться наукой

[Котофеич]

BorysB писал(а):

Цитата:

Смею Вас заверить, что теория распознавания точно также как и другие теории из области ветеринарных наук, при всей их очевидной полезности, не могут служить критерием определяющим целесобразность математики. И потом с чего Вы взяли, что прогресс в области математики должен отразиться на нашей или вообще на чьей то жизни

Действительно, не знаю даже что и сказать...

Цитата:

Да нет. Вы наверное просто не знаете, что невероятно сложные уравнения можно успешно решать и без помощи математики, например с помочю компьютерных технологий.

Насколько я знаю, нет. Безусловно, компьютер может найти локальный максимум функции от нескольких переменных с несколькими ограничениями. Но я имел ввиду задачи несколько другие... Например, как предсказать взаимодействие двух молекул состоящих из 100 тыс. атомов каждая. Или найти молекулу, которая будет взаимодействовать с данной определенным образом. Например, иммунная система строит высокоспецифичные антитела к искусственно созданым молекулам, которых на земле никогда раньше не было. Притом делает это за несколько часов.

Математиков такие проблемы не интересуют. А о компьютерах Вы очень плохого мнения.
В недалеком будущем с помощью квантовых компьютеров смогут и не такие задачи решать.

[BorysB]

Да, квантовые компьютеры -- это, безусловно, очень перспективная тема, очень хочется, чтобы все получилось. Притом, мат. часть готова: насколько я знаю, квантовая теория алгоритмов уже достаточно развита.

Но отслеживая последние тенденции развития этого направления меня пугает следующее. Периодически появляются сообщения, мол синхронизировали столько-то кубитов, последнее, что я слышал, было 16. Но каждый прирост дается как-то сложно. Вроде синхронизировали 2, потом 4, ну 8. Общий принцип должен быть уже понятен. А, читая новости о квантовых компьютерах, складывается такое впечатление, будто каждый прирост в синхронизации -- это качественный прорыв. Постоянно нужно выдумывать новые уловки. Я понимаю, что технология достаточно молодая, и идет ее становление, но тем не менее.

Я иногда опасаюсь, нет ли какого-то закона сохранения, связывающего минимальную енергию затраченную на обработку информации и количество этой информации (понятно, это только мысли вслух).

[ddn]

Yuri Gendelman писал(а):

BorysB писал(а):

2) Огромное количество NP-полных задач.
...едва ли найдется какая-то задача, решение которой окажет такое-же влияние на мир, как решение единственной NP-полной задачи.

Это еще и автоматически докажет, что $NP = P$.
Ну а если выяснится, что $NP \neq P$? Тогда этот вывод отразится на нашей жизни не более, чем доказательство теоремы Ферма или гипотезы Пуанкаре.

Необходимо еще найти один такой алгоритм (решающий одну NP-полную задачу), а не просто доказать его существование. Но и это не все:
1) степень влияния на мир этого решения будет напрямую зависеть от степени ${\alpha}$ и коэффициэнта C сложности этого решения $t(n) \le C n^{\alpha}$, оттого, насколько они велики,
2) конечно, полиномно решив одну NP-полную задачу можно полиномно решить и остальные, только степени и коэффиценты сложности у них уже будут другие - много больше. Все не так просто.

Yuri Gendelman писал(а):

В полной теории любое истиное высказывание может быть выведено с помощью заданных правил вывода. Теорема Геделя как раз и показывает, что есть неполные теории.

Теория есть некоторое множество логических утверждений, замкнутых относительно всех правил вывода данной логики. Полная теория характеризуется (для бинарной логики с отрицаниями $$\overline{\overline{A}} = A$) тем, что в ней доказуемо любое утверждение или его отрицание.
Противоречивая теория (доказуемо и $\overline{A}$ и $A$) с правилом вывода modus ponens также полна, ибо в ней доказуемы все утверждения. Но есть теории, которые нельзя асиоматизировать конечным числом аксиом, даже более того, бесконечным числом рекурсивно перечислимых аксиом - их существование и утверждает теорема Геделя, точнее она говорит, что арифметика первого порядка, если она непротиворечива - есть теория рекурсивно не аксиоматизируемая, как и все теории сильнее ее (теории с дополнительными аксиомами, а более обще, теории дающие модель арифметики и, тем самым, доказывающие непротиворечивость последней относительно себя).

[SereJa1020]

а что такое NP-полные задачи?

[Brukvalub]

см. http://ru.wikipedia.org/wiki/NP-%D0%BF% ... 1%87%D0%B0