Современное состояние математики

[Phobos]

Как по-вашему мнению обстоит дело в современной математике? Возможно "золотой век" математики давно позади, и сегодня она переживает не лучшие времена? А может быть наоборот - математика необыкновенно расцвела и динамично развивается?
Прошу голосовать.

Возможно вы считаете, что математика развивается только благодаря бесчисленным приложениям, а внутри требует глубокого пересмотра, и долго так "не протянет"? Или напротив, в условиях сегодняшнего кризиса в её недрах зародилась новая теория, которая в будущем станет её новой парадигмой?
Прошу делиться мнениями.

[бобыль]

Я вот хожу в книжный магазин и вижу, что основная масса переводных книг по математике - это книги, переведенные на русский язык еще в советское время, а теперь попросту переизданные. Новых переводов очень мало. Вы скажете, что это проблема не математики, а нашего книгоиздания. Вот, об этом я и хочу спросить. Есть ли за рубежом новые математические книги, достойные перевода на русский язык? Может, по сравнению с советским временем их почти нет? и переводить попросту нечего? И тогда это уже не проблема нашего книгоиздания, а упадок математики в целом. Я лично подозреваю последнее.

[dmd]

Думаю, что нужен глубокий пересмотр, после которого всплывут новые подходы и будут новые результаты, и будет разбито множество шаблонов, не осознаваемых сейчас.

[shwedka]

Я отношусь к тем, кто в математике работает. Новые проблемы возникают в намного большем количестве, чем их успеваешь решать. Сложность для зеленой молодежи: им гораздо больше изучать приходится, чем раньше, чтобы добраться до актуальных задач.

Я бы спросила тех, кто о кризисе в математике гласят:
кто из вас серьезную задачу, не из задачника, решил???

[Котофеич]

бобыль писал(а):

Я вот хожу в книжный магазин и вижу, что основная масса переводных книг по математике - это книги, переведенные на русский язык еще в советское время, а теперь попросту переизданные. Новых переводов очень мало. Вы скажете, что это проблема не математики, а нашего книгоиздания. Вот, об этом я и хочу спросить. Есть ли за рубежом новые математические книги, достойные перевода на русский язык? Может, по сравнению с советским временем их почти нет? и переводить попросту нечего? И тогда это уже не проблема нашего книгоиздания, а упадок математики в целом. Я лично подозреваю последнее.

А зачем переводить Число публикаций на всех языках постоянно возрастает.
Под кризисом современной математики понимают нечто совершенно другое.

[незваный гость]

shwedka писал(а):

Сложность для зеленой молодежи: им гораздо больше изучать приходится, чем раньше, чтобы добраться до актуальных задач.

А Вы не находите, что это становится серьезной проблемой? Более того, сейчас уже возникла ситуация, когда весьма базовые вещи «проходят» в университетском курсе, проходят мимо, в лучшем случае упоминая. Вспоминая, чему меня научили в универе, я понимаю, что большие куски классической теории, классических методов туда просто не вошли. Я не виню профессоров — материал стал огромен, а на курс алгебры по-прежнему отводится всего четыре семестра (8-10 часов в неделю). Дальше — в спецкурсах, но я был на другой кафедре. И, в любом случая, спецкурс — это не раздел базовой теории, а, как правило, современная, развивающаяся теория. И ведущий его профессор приспосабливается к (не)знаниям студентов.

Я столкнулся с любопытным феноменом — классическая механика лучше всего освещена в учебниках первой половины ХХ века. Потом она скомкана, урезана, упрощена до нуля. Читая статью Арнольда, у меня сложилось впечатление, что он считает тоже самое происходит с учебниками математики.

Я не склонен хвататься за голову и кричать «кризис». Но это положение дел вызывает у меня смутное беспокойство.

[Котофеич]

Не нужно беспокоиться. Эта проблема всегда была и всегда преодолевалась за счет
расслоения на все более и более узкие специализации. Другое дело, что каждый математик обычно знает и понимает, только что то из своей узкой области, а в других вопросах ничерта
не смыслит. Но это не проблемы науки, а конкретных ученых.

[Котофеич]

shwedka писал(а):

Я отношусь к тем, кто в математике работает. Новые проблемы возникают в намного большем количестве, чем их успеваешь решать. Сложность для зеленой молодежи: им гораздо больше изучать приходится, чем раньше, чтобы добраться до актуальных задач.

Я бы спросила тех, кто о кризисе в математике гласят:
кто из вас серьезную задачу, не из задачника, решил???

Вот есть тут один такой
http://elementy.ru/lib/164681

[shwedka]

Котофеич писал(а):

shwedka писал(а):

Я отношусь к тем, кто в математике работает. Новые проблемы возникаю
Я бы спросила тех, кто о кризисе в математике гласят:
кто из вас серьезную задачу, не из задачника, решил???

Вот есть тут один такой
http://elementy.ru/lib/164681

Девиса я хорошо знаю, ученый он большой, и он может себе позволить морализовать.
Не то, что морализаторы из форума.
Честно, на наш век, и дальше того, хватит задач, которые компьютера не требуют.
Я готова и призываю других: за ничтожными по массовости исключениями признать проблему непроверямости неактуальной.

[Котофеич]

А почему бы Вам не сказать об этом самому мистеру Дэвису Я думаю, что Ваша критика ему не сильно придется по душе . Мне даже страшно представить как он будет реагировать на Ваше странное заявление
Советую Вам внимательно ознакомиться со статьей Девиса. Вот что этот дядечка пишет:
Непротиворечивость арифметики
В этом разделе речь пойдет об огромном значении того факта, что доказательства простых высказываний могут иметь невероятную длину. Гёдель нас научил, что доказать внутреннюю непротиворечивость арфметики Пеано невозможно, однако все считают элементарную арифметику непротиворечивой de facto и как ни в чем не бывало ею пользуются.

Платоновские настроения, царящие в среде математиков, просто не дают им усомниться в безгрешности арифметики Пеано. Вслед за Кронекером многие стали считать, что натуральные числа открыты им путем прямого прозрения и, следовательно, существуют. А раз натуральные числа существуют и подчиняются аксиомам Пеано, следовательно аксиоматика Пеано есть данность, и ее надо считать априори непротиворечивой. При этом часто ссылаются на ожидаемые или замышляемые улучшенные модели аксиом Пеано, однако ожидания и замыслы сами по себе ничего не решают.

Если мы обратимся к истории, мы увидим множество примеров всеобщей уверенности в ошибочных постулатах, включая математические. Веками евклидова геометрия считалась адекватно описывающей свойства пространства, пока Риман, а затем Эйнштейн не доказали обратное. Статус аксиомы выбора, или аксиомы Цермело, сегодня ни у кого сомнений не вызывает, хотя в начале XX века ее приемлемость была предметом бурных споров. Сам Цермело со временем признал, что главная причина для принятия аксиомы выбора — это то, что без нее математики не смогли бы доказать целый ряд результатов, необходимых им в работе; см. [19, с. 56]. И все эти сомнения отнюдь не разрешены — они просто забыты большинством научного сообщества. Наконец, отметим, что уверенность Гильберта в возможности позитивного решения всех без исключения математических задач разделялась подавляющим большинством его современников и была поколеблена лишь Гёделем.
Ваш друг не морализует, а делает правильные логические выводы из теоремы
о полноте, которую в отличие от Дэвиса многие другие пока даже не удосужились почитать или читали но как всегда не поняли

[бобыль]

Котофеич писал(а):

А зачем переводить? Число публикаций на всех языках постоянно возрастает. Под кризисом современной математики понимают нечто совершенно другое.

Я думаю, само количество модных математических теорий характеризует состояние математики, и чем их больше, тем она живее. Какая теория является модной? В советское время определить это было довольно легко: достаточно было посмотреть, какие книги переводят крупнейшие советские издательства, особенно изд-во Мир. И таких модных теорий, судя по переводам, было полным-полно. Возьмите хотя бы 30-40 лет назад: нестандартный анализ, нелинейный анализ, выпуклый анализ, оптимальное управление, математическое программирование, численные методы, алгоритмические языки, математическая логика, дискретная математика, нечеткие множества, распознавание образов, теория игр, теория катастроф, фракталы и т.д. и т.п. Все это были молодые, быстро развивающиеся теории... А сегодня что? Опять же судя по переводам - ничего! Разве что вейтлеты. Ну, коды и шифры... Нет, правда, а еще что? Вправьте мне мозги!

[Котофеич]

Переводы делались в основном чтоб заработать. В основном бабки получал редактор
перевода, а сам перевод делал другой. Например книжку Альбеверио по нестандартному
анализу переводил Звонкин, а редактором был Шубин, который никогда не был специалистом
в этой области. В России сейчас издают книги на русском языке и не переводные, а свои и
насколько я знаю немало. На западе поток просто огромный. Вообще фронт исследований
постоянно разростается, а вот продвижение в глубь идет медленнее, чем хотелось бы.

[OZH]

Может, всё-таки, в специализации больше вреда, чем пользы?

Если бы люди были бы более информированными, то такой специализации не было бы, поскольку было бы ясно, где какие ньюансы есть, и не было бы дублирования результатов. Современная математика мне представляется сильно разросшимся деревом: куча дублирующих друг друга веток, одних и тех же понятий но под разными названиями и в во всевозможных контекстах. К этому следует ещё добавить, что различные вводные курсы делают разные акценты на одном и том же материале, исходят из разных посылок и имеют разную логическую структуру. К тому же мы, в действительности, оказываемся вводимы именно в (учебный) предмет, а не в область исследований.

Как-то мне попались такие тоненькие книжицы --- Итоки науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Или другие серии). Я был поражён разнообразием именно самих направлений исследования!

Но задача сведения воедино --- трудная задача. Тут нужны люди, которые составляют качественные рефераты, разбираются в предмете и умеют рождать новые унифицирующие формализмы. Но таких у нас не любят. Это же "не научная работа".

И ещё. Основное свойство математики, да и положительной науки в целом --- искать там, где светслее ("под фонарём") --- решать только разрешимые задачи. Точнее: усиленно ставить их. Ну не могут они решить дифференциальное уравнение --- и всё тут...

[Котофеич]

Математику нельзя свести воедино. Ее разделы, это принципиально различные математические науки. Просто использование теоретикомножественного языка, создает у дилетантов, впечатление чего то там единого. Категорный язык еще более увеличивает это впечатление. На самом деле теория множеств и теория категорий это тоже отдельные дисциплины, которые имеют свои методы и проблематику, а математики работающие в других областях как правило имеют только элементарные познания в этой области. Не умеют решит не одно уравнение, как Вы выразились, а почти любое, представляющее принципиальный интерес для других фундаментальных наук. Это достаточно нехороший симптом, хотя разумеется прогрессу в целом это мешать не может.
Что касается ученых, которые пишут грамотные рефераты и обзорные статьи, то я их люблю,
потому что без этого вообще невозможен прогресс науки.

[Три А,да]

Проблема сейчас не в математике,а в её преподавании.У нас в принципе закончили на комплексных числах(опустим функан и
ММФ)Дальше расширение до высшей алгебры не преподаётся вообще,хотя наверняка анализ многих явлений с помощью аппарата высшей алгебры был бы очень интересен и полезен.(к сожалению единственное что я знаю это только название одного из расширений после комплексных чисел-октавы,нет литературы на эту тему,а самостоятельные попытки найти расширение не так успешны,поскольку уже не получается что они не удовлетворяют определению числового поля-не действуют аксиомы умножения,в результате-сложность простых раньше операций,особенно с вычислением корня например)

А так можно было бы моментально анализировать ситуацию сразу в широком диапазоне методов и быстро добиваться результата.