Доказать неравенство

[shukshin]

Здравствуйте, уважаемые посетители форума! Недавно я столкнулся со сложным неравенством.
Нужно доказать, что $|\sin($\sum\limits_{k=1}^n x_k)|\leq $\sum\limits_{k=1}^n \sin(x_k)$$, если $0\leq x_k \leq \pi$ и $(k=0, 1, 2 ... n)$.
Я честно пробовал методом индукции, но быстро запутался при доказательстве перехода. Прошу вашего совета.

[Oleg Zubelevich]

и тем не менее индукция

[gris]

А разве там не совсем просто? Формула синуса суммы, свойство модуля суммы и модуля произведения, ограниченность косинуса единичкой (по индукции, конечно, при первом шаге и переходе).

[Dave]

Олимпиадное решение.

Отложим на единичной окружности последовательно по часовой стрелке $n$ дуг с длинами $2x_1, 2x_2, \dots, 2x_n$ и посчитаем длину ломаной, соединяющей полученные точки, а также длину отрезка, соединяющего начальную и конечную точки.

[ewert]

shukshin в сообщении #762542 писал(а):

Я честно пробовал методом индукции, но быстро запутался при доказательстве перехода.

Чтобы не путаться, введите обозначения для сумм, скажем: $y_n=\sum\limts_{k=1}^nx_n,\ s_n=\sum\limts_{k=1}^n\sin(x_n)$. Вам надо доказать, что $|\sin(y_n)|\leqslant s_n$. Тогда индукционный переход сводится к тому, что из $|\sin(y_{n-1})|\leqslant s_{n-1}$ следует, что $|\sin(y_{n-1}+x_n)|\leqslant s_{n-1}+\sin(x_n)$, а для этого достаточно уже тупо раскрыть скобки.