Бросаем кубик

[Александрович]

Lukum в сообщении #761263 писал(а):

Не следует сразу браться за Бернулли, для начала можно потренероваться на "кошечках", т.е. на трех бросках и монетке.

А это разве не распределение Бернулли?

[Lukum]

Попробую еще раз.
1. Вероятность трех "орлов" в трех бросках $=\frac18$.
2. Вероятность двух "орлов" в трех бросках $=\frac38$.
3. "вероятность того, что количество событий k не изменится (в нашем случае два "орла" в трех бросках )" $ = 1$
т.к. у нас больше нет бросков, у нас осталось 0 бросков из 3х.
4. "вероятность того, что количество событий k не изменится (в нашем случае два "орла" в трех бросках )", если мы сделаем четвертый бросок $=0.5$

-- 07.09.2013, 12:13 --

Александрович в сообщении #761280 писал(а):

Lukum в сообщении #761263 писал(а):

Не следует сразу браться за Бернулли, для начала можно потренероваться на "кошечках", т.е. на трех бросках и монетке.

А это разве не распределение Бернулли?

Это зависит от того, что подразумевать под "это" :)
ps заглянул в ваши посты, вы думаю сами знаете ответ на ваш вопрос

[Александрович]

Lukum в сообщении #761286 писал(а):

Это зависит от того, что подразумевать под "это" :)

А что-то иное можно подразумевать при независимых испытаниях?

[Deggial]

Lukum, красный цвет зарезервирован для модераторов, не используйте его. Цвет изменил.

[Побережный Александр]

Побережный Александр в сообщении #761252 писал(а):

Рассматриваются испытания Бернулли. За $n$ испытаний произошло $k$ событий $A$. Найти вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ не изменится.

И все же хотелось бы узнать, корректна ли такая постановка задачи?

ИСН в сообщении #761255 писал(а):

Вы не учитываете, что конфигурация "два из трёх" может вырасти не только из конфигурации "два из двух", но и из такой - "один из двух".

В случае, упомянутом ИСН, постановка задачи такая:
Рассматриваются испытания Бернулли. За $n$ испытаний произошло $k$ событий $A$. Найти вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ изменится на $k+1$.

[Lukum]

Побережный Александр в сообщении #761915 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #761252 писал(а):

Рассматриваются испытания Бернулли. За $n$ испытаний произошло $k$ событий $A$. Найти вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ не изменится.

И все же хотелось бы узнать, корректна ли такая постановка задачи?

Корректна.

Побережный Александр в сообщении #761915 писал(а):

ИСН в сообщении #761255 писал(а):

Вы не учитываете, что конфигурация "два из трёх" может вырасти не только из конфигурации "два из двух", но и из такой - "один из двух".

В случае, упомянутом ИСН, постановка задачи такая:
Рассматриваются испытания Бернулли. За $n$ испытаний произошло $k$ событий $A$. Найти вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ изменится на $k+1$.

Ответ писал уже в этой теме вероятность $=p $, для монетки $=0.5$

[Побережный Александр]

Побережный Александр в сообщении #761915 писал(а):

В случае, упомянутом ИСН, постановка задачи такая:
Рассматриваются испытания Бернулли. За $n$ испытаний произошло $k$ событий $A$. Найти вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ изменится на $k+1$.

Lukum, не $n+1$-вое испытание, эн плюс одно испытание. Один эксперимент имеет $n$ испытаний, второй имеет $n+1$ испытание. Не факт, что первые $n$ испытаний в обоих экспериментах одинаковы, хотя это и возможно.

[Lukum]

$ b(k;n,p)=C_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)} $
$ b(k+1;n+1,p)= b(k;n,p) \frac{n+1}{k+1} p $

[Побережный Александр]

Буду использовать обозначения Lukum.
Провели $n$ независимых испытаний и получили $k$ событий, каждое из которых имеет вероятность $p$.
По формуле Бернулли вероятность такого результата будет $b(k;n;p)=C^k_np^k q^{n-k}$, где $q=1-p$.
Соответственно, $b(n+1;k+1;p)$ - вероятность при $n+1$ испытании получить $k+1$ событие, $b(n+1;k;p)$ - вероятность при $n+1$ испытании получить $k$ событий.
Теперь моделируем бросание кубика.
Количество бросаний - это $n$, выпадение "двойки", например, - это $k$, вероятность выпадения "двойки" в одном броске $p=\frac16$.
Пусть при $n$ бросках "двойка" выпала $k$ раз. Вероятность такого события $b(n;k;p)$.
Какова вероятность того, что на $n+1$ - вый бросок выпадет "двойка"?
Буду трактовать эту задачу, как новый эксперимент с $n+1$ - ним броском кости, причем результаты первых n бросков совпали с предыдущим экспериментом.
Соответственно, вероятность такого результата будет $b(n+1;k+1;p)=b(n;k;p)(n+1)\frac{p}{k+1}$.
Соответственно, вероятность НЕвыпадения "двойки" в той же трактовки будет $b(n+1;k;p)=b(n;k;p)(n+1)\frac{q}{n-k+1}$.
Поскольку рассматриваются только два эти события, то их вероятности соотносятся как $\frac{p}{k+1}$ к $\frac{q}{n-k+1}$.
Отсюда, вероятность выпадения "двойки" в $n+1$ - вом броске будет $\frac{n+1-k}{n-2k+\frac{k+1}{p}}$,
а вероятность НЕвыпадения "двойки" в n+1 - вом броске будет $\frac{k+1}{2k-n+\frac{n+1-k}{q}}$ или 1-$\frac{n+1-k}{n-2k+\frac{k+1}{p}}$.
Пример, с какой вероятностью после выпадения двух "шестерок" выпадет третья.
$n=2,k=2,p=\frac16$. Ответ: $\frac1{15}$.

[Shadow]

Побережный Александр, вероятность, вычисленная до начала эксперимента, валидна только до начала эксперимента. Как только эксперимент начался, после первого же броска, о ней надо забыть, зачеркнуть, и если надо вычислить заново. Она не является констанстой на протяжение всего эксперимента, как вам кажется.
Константой является

Побережный Александр в сообщении #762808 писал(а):

вероятность выпадения "двойки" в одном броске $p=\frac16$.

Побережный Александр в сообщении #762808 писал(а):

Пример, с какой вероятностью после выпадения двух "шестерок" выпадет третья.

Хоть после выпадения миллион шестерок подряд вероятность опять будет $\frac 1 6$ Она константа.

[Lukum]

$ b(k;n+1,p)= b(k;n,p) \frac{(n+1)}{(n+1-k)} (1-p) $

-- 11.09.2013, 16:29 --

Побережный Александр в сообщении #762808 писал(а):

Буду использовать обозначения Lukum.
Провели $n$ независимых испытаний и получили $k$ событий, каждое из которых имеет вероятность $p$.
По формуле Бернулли вероятность такого результата будет $b(k;n;p)=C^k_np^k q^{n-k}$, где $q=1-p$.
Соответственно, $b(n+1;k+1;p)$ - вероятность при $n+1$ испытании получить $k+1$ событие, $b(n+1;k;p)$ - вероятность при $n+1$ испытании получить $k$ событий.
Теперь моделируем бросание кубика.
Количество бросаний - это $n$, выпадение "двойки", например, - это $k$, вероятность выпадения "двойки" в одном броске $p=\frac16$.
Пусть при $n$ бросках "двойка" выпала $k$ раз. Вероятность такого события $b(n;k;p)$.
Какова вероятность того, что на $n+1$ - вый бросок выпадет "двойка"?
Буду трактовать эту задачу, как новый эксперимент с $n+1$ - ним броском кости, причем результаты первых n бросков совпали с предыдущим экспериментом.
Соответственно, вероятность такого результата будет $b(n+1;k+1;p)=b(n;k;p)(n+1)\frac{p}{k+1}$.
Соответственно, вероятность НЕвыпадения "двойки" в той же трактовки будет
$b(n+1;k;p)=b(n;k;p)(n+1)\frac{q}{n-k+1}$.
Поскольку рассматриваются только два эти события, то их вероятности соотносятся как $\frac{p}{k+1}$ к $\frac{q}{n-k+1}$.
Отсюда, вероятность выпадения "двойки" в $n+1$ - вом броске будет $\frac{n+1-k}{n-2k+\frac{k+1}{p}}$,
а вероятность НЕвыпадения "двойки" в n+1 - вом броске будет $\frac{k+1}{2k-n+\frac{n+1-k}{q}}$ или 1-$\frac{n+1-k}{n-2k+\frac{k+1}{p}}$.
Пример, с какой вероятностью после выпадения двух "шестерок" выпадет третья.
$n=2,k=2,p=\frac16$. Ответ: $\frac1{15}$.

Выделенное цветом ошибочно.

[Lukum]

Вам надо понять, что означают величины в1 и в2, которые входят в формулы ф1 и ф2.
в1. $\frac{n+1}{k+1} p$
в2. $\frac{(n+1)}{(n+1-k)} (1-p)$
ф1. $ b(k+1;n+1,p)= b(k;n,p) \frac{n+1}{k+1} p $
ф2. $ b(k;n+1,p)= b(k;n,p) \frac{(n+1)}{(n+1-k)} (1-p) $

-- 12.09.2013, 07:42 --

Обращу внимание, что задача з1 вычислить $b(k;n,p) $
задача з2 вычислить $b(k;n+1,p) $
имеют разные пространства элементарных событий, выпишите их, я выписывал на второй странице. Да, пространство из з2 можно получить из з1 и они взаимосвязаны, что собственно формулы и описывают.