эквивалентные нормы в соболевом пространстве на [0,infty)

[dikiy]

Зададим соболево пространство на $W_2^1[0,\infty)$ со следующей нормой:

$$\Vert f\Vert^2 = \int\limits_0^\infty e^{-t}f^2(t) dt+\int\limits_0^\infty e^{-t}f'^2(t) dt$$

нужно (если такое вообще возможно) показать эквивалентность нормы:

$$\Vert f\Vert^2 =f(0)^2+\int\limits_0^\infty e^{-t}f'^2(t) dt$$

Для этого мне надо доказать неравенство Пуанкаре на области $[0,\infty).$

Нам известно, что неравенство Пуанкаре выполняется на _ограниченных_ областях. Насколько я понимаю - область $\Omega$ считается ограниченной, если $\forall x\in \Omega,\ \rho(x,a)<\infty$ для любого фиксированного $a\in\Omega.$ и метрики $\rho(x,y).$
Мы можем задать мертрику на области $[0,\infty)$ в виде $\rho(x,y)=\Big| \int\limits_x^y e^{-t}dt \Big|.$ Тогда вроде бы область $[0,\infty)$ будет ограниченной по этой метрике. Но тут возникает проблема в том, как определять производную, ну и вообще темный лес.

Куда копать и вообще возможно ли это?

[Oleg Zubelevich]

Смирнов Курс высш мат. том 5. Там есть очень красивая общая теорема, которая позволяет генерировать разные эквивалентные нормы в пространстве Соболева. Эта теорема там вроде бы доказана для случая ограниченной области. Но с такой замечательной мерой $e^{-x}dx$ ее легко можно переделать и на $\mathbb{R}_+$. Вам будет куда интересней и полезней понять эту общую конструкцию, чем упражняться в интегрировании по частям и тп

[dikiy]

Oleg Zubelevich в сообщении #761777 писал(а):

Смирнов Курс высш мат. том 5. Там есть очень красивая общая теорема, которая позволяет генерировать разные эквивалентные нормы в пространстве Соболева.

просматриваю указанный том. Там очень много материала по теме и мне довольно трудно ориентироваться. Вы не могли бы указать точнее?

И заодно спрошу - где почитать про доказательство полноты системы из полиномов Лагерра в пространстве $L_2[0,\infty)$ (относительно указанной выше нормы)?

[Oleg Zubelevich]

dikiy в сообщении #761783 писал(а):

е и мне довольно трудно ориентироваться. Вы не могли бы указать точнее?

Глава "Метрические и нормированные пространства", Теоремы вложения. мелкий шрифт

dikiy в сообщении #761783 писал(а):

олноты системы из полиномов Лагерра в пространстве $L_2[0,\infty)$ (относительно указанной выше нормы)?

в Колмогорове-Фомине

[dikiy]

Цитата:

dikiy в сообщении #761783 писал(а):

олноты системы из полиномов Лагерра в пространстве $L_2[0,\infty)$ (относительно указанной выше нормы)?

в Колмогорове-Фомине

За Колмогорова спасибо! То что надо.

возвращаясь к нормам: В Смирнове теоремы нашел. Но там все время речь об области $D$. Но я никак не могу локализовать место, где говорится о свойствах указываемой области, о мере на ней и т.п.