Зададим соболево пространство на

со следующей нормой:

нужно (если такое вообще возможно) показать эквивалентность нормы:

Для этого мне надо доказать неравенство Пуанкаре на области

Нам известно, что неравенство Пуанкаре выполняется на _ограниченных_ областях. Насколько я понимаю - область

считается ограниченной, если

для любого фиксированного

и метрики

Мы можем задать мертрику на области

в виде

Тогда вроде бы область

будет ограниченной по этой метрике. Но тут возникает проблема в том, как определять производную, ну и вообще темный лес.
Куда копать и вообще возможно ли это?