2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение18.02.2009, 06:33 
ewert писал(а):
Да, это верно, но только если доказать существование такой прямой (не проходящей ни через один экстремум). Это следует, например, из того, что множество локальных экстремумов не более чем счётно. Что, в свою очередь, верно, но не так уж и тривиально.


Ув. Ewert, почему это верно? Дайте ссылку на доказательство или само доказательство, если не трудно. Можно в ЛС.

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 06:57 
Вот тут это обсуждалось. Правда, не помню, состоялось ли там решение :) http://dxdy.ru/topic18512.html

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Не, не состоялось, но там говорят, что было обсуждение еще раньше.

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 06:59 
Нет, не состоялось. Ясно, что множеством локальных экстремумов может быть, например, множество Кантора. А почему бы функции не быть монотонной на множестве максимумов?

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 07:32 
Вообще, похожая задача идет в Дьяченко "Действительный анализ в задачах" под номером 2.53.

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 07:53 
Книги этой в свободном доступе вроде нет. И что значит "похожая"?

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 08:24 
Цитата:
Пусть $f(x)$ - функция на $(0,1)$, и для $\forall x \in (0,1) \ \exists \delta = \delta(x) >0$ такое, что $\forall t \in (x-\delta,x+\delta) \ f(x) \geqslant f(t)$ ( т.е. каждая точка интервала $(0,1)$ является точкой нестрогого локального максимума функции $f$ ). Доказать, что $Im f$ не более чем счетно.


Хотя, может, и не столь она тут похожа. :?

Добавлено спустя 17 минут 8 секунд:

Раз нет, приведу сразу и доказательство оттуда. Оно, кажется, переносится.

Используя $AoC$, выберем для каждого $ y \in Im f$ такую $x \in (0,1)$, что $f(x) = y$, обозначим множество таких $x$ через $A$. $\forall x \in A$ выберем пару рациональных чисел $r_1(x) < x < r_2(x)$ так, чтобы $\forall t \in (r_1(x),r_2(x))$ было выполнено $f(t) \leqslant f(x)$. Пусть $x,z \in A, \ x \neq z$. Тогда по построению $f(x) \neq f(z)$. Предположим, что $f(x) > f(z)$. Тогда если $r_1(x) = r_1(z)$ и $r_2(x) = r_2(z)$, то $f(x) \leqslant f(z)$. Проотиворечие. Таким образом, разным $x \in A$ соответствуют разные пары из $\mathbb{Q}^2$

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 09:05 
Юстас в сообщении #187265 писал(а):
Ясно, что множеством локальных экстремумов может быть, например, множество Кантора.

Нет, не может. Поскольку в этой (вяло)текущей задаче речь о строгих локальных максимумах, а их количество, действительно, не более чем счётно -- для любой функции вообще.

Доказательство довольно стандартно. Окружим каждую точку строгого локального максимума произвольной симметричной окрестностью, в пределах которой значения функции строго меньше, чем в центре. Разобьём всё множество этих экстремумов на непересекающиеся классы следующим образом: отнесём к $k$-тому классу все точки, для которых длины выбранных окрестностей лежат в $[2^{-k};2^{-k+1})$. Для любых двух точек из данного класса расстояние между ними не может оказаться меньше, чем $2^{-k-1}$: в противном случае каждая из точек попадёт в окрестность другой, а хотя бы одно из этих двух включений невозможно. Следовательно, количество точек экстремума в каждом классе не более чем конечно. Ну а по всей совокупности классов -- не более чем счётно.

 
 
 
 Re: Задача на непрерывность
Сообщение08.09.2013, 16:03 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #184944 писал(а):
Только ровным счётом ничего непосредственно отсюда не следует.

Вот именно.
Предлагаю публике помучиться дальше. Функция, удовлетворяющая условию задачи, у меня есть. Пример весьма прост.

 
 
 
 Re: Задача на непрерывность
Сообщение08.09.2013, 16:19 
Каюсь, не читал многолетнюю историю обсуждения, но первая мысль была $y = xsin(1/x)$

 
 
 
 Re: Задача на непрерывность
Сообщение08.09.2013, 16:20 
Аватара пользователя
Гм, с каких пор восьмёрка на боку чётна?

 
 
 
 Re: Задача на непрерывность
Сообщение08.09.2013, 16:22 
Более того, пример здесь на форуме, насколько я помню, тоже приводился, только в какой-то другой ветке. Там примерно так: бесконечная ломаная с вершинами, абсциссы которых образуют монотонную сходящуюся последовательность, а ординаты суть $0,y_1,y_3,y_1,y_3,y_2,y_4,y_2,y_4,y_3,y_5,y_3,y_5,\ldots$, где последовательность $\{y_k\}$ монотонно стремится к нулю.

 
 
 
 Re: Задача на непрерывность
Сообщение08.09.2013, 16:32 
Nimza в сообщении #183659 писал(а):
Как доказать, что не существует такой функции \[ f \], для которой график функции имеет с любой прямой семейства чётное число общих точек?


если этих самых точек пересечения вообще конечное число. Грубо говоря, функция $f$ гомотопна линейной функции, а топологическая степень последней равна 1. Это идея, нужно проработать детали.

 
 
 
 Re: Задача на непрерывность
Сообщение08.09.2013, 16:42 
Oleg Zubelevich в сообщении #761699 писал(а):
если этих самых точек пересечения вообще конечное число.

Каких именно точек пересечения конечное число?

 
 
 
 Re: Задача на непрерывность
Сообщение08.09.2013, 18:37 
Аватара пользователя
Пример, а также свойство $f(a)=f(b)$ см. здесь.

 
 
 
 Re: Задача на непрерывность
Сообщение08.09.2013, 20:11 
Dave в сообщении #761743 писал(а):
Пример, а также свойство $f(a)=f(b)$ с

правильно, поэтому я и говорил, что надо проработать детали. Функция с таким условием негомотопна функции вида $ax+b,\quad a\ne 0$ , поэтому ее степень не обязана быть $\pm 1$
Отсюда ,кстати, следует первый пункт задачи по ссылке

 
 
 [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group