Непрерывность и чётность

[Dave]

Пусть $f \colon [a,b] \to \mathbb R$ - непрерывная функция, принимающая каждое значение чётное количество раз.
1. Докажите, что $f(a)=f(b)$.
2. Приведите пример такой функции.

[gris]

Я пытался доказать обратное, что любая непрерывная на отрезке функция, принимающая каждое значение конечное число раз, какое-то значение принимает нечётное количество раз. но sup построил контрпример: этакая пила, спускающаяся к одному из концов отрезка.
Равенство доказывается от противного. Проведём горизонтальную прямую через промежуточное значение, но так, чтобы она не проходила ни через один экстремум. Так как по теореме ewerta у непрерывной функции счётное число точных локальных экстремумов, такая прямая существует.

[Dave]

Хотелось бы, конечно, увидеть ссылки как на пример supа, так и на теорему ewertа.
Я же при доказательстве первого пункта попутно доказал, что у любой функции, определённой на любом подмножестве прямой, не более чем счётное число строгих локальных экстремумов, что предлагаю доказать и всем желающим.

[gris]

Конечно, у любой, так как непрерывность не используется.
Обсуждение было здесь:http://dxdy.ru/topic42011.html

[Dave]

Мой пример несколько проще, чем у supа. Функция $f$ строится на отрезке $[0,2]$. Вначале определим её на счётном множестве точек:
$f(x)=\begin{cases} 0,&x=0;\\ \frac 1 {n+1},&x=\frac 1 {2n}, \; n \in \mathbb N;\\ \frac 1 n,&x=\frac 1 {2n+1}, \; n \in \mathbb N;\\ 1,&x=1;\\ 0,&x=2, \end{cases}$
а потом на каждом из отрезков, которые получаются в результате деления $[0,2]$ этими точками, сделаем функцию $f$ линейной, т.е. доопределим отрезками прямой.

[gris]

На самом деле задача была ещё раньше: http://dxdy.ru/topic19713.html
Но все были загипнотизированы требованием доказать противоположное, что никто и не озаботился о контрпримере. Ну потом разобрались.