Конечные подгруппы в SO(3)

[Konstantce]

Здравствуйте, форумчане.
Как известно, любая конечная группа в $SO(3)$ имеет порядок $12$, $24$ или $60$.
Как правило, доказательство факта существования подгрупп таких порядков основывается на взывании к геометрической интуиции: рассматриваются все вращения трёхмерного пространства, совмещающие идеальные платоновские тела (куб, тетраэдр, октаэдр...) с самими собой, и потом доказывается (основываясь на свойствах данных тел), что подгруппы данных вращений имеют как раз указанные выше порядки.
Что же меня не очень удовлетворяет в данном рассуждении?
Во первых апелляция к геометрическим образам при доказательстве алгебраического факта (о матрицах или группе операторов над векторным пространством по сути!).
Во вторых, в данном рассуждении молчаливо предполагается, что платоновские тела существуют. (Это очевидно ещё в случае куба или тетраэдра, но скажем в случае икосаэдра уже всё не так просто.)
Поэтому такой вопрос: возможно, кто-нибудь знает что-то об алгебраическом доказательстве этого факта? (используя теорию групп, линейную алгебру, возможно, элементы анализа).

[spyphy]

ну конечно есть алгебраическое доказательство, см. Кострикин А.И. Введение в алгебру. т.3. Основные структуры, стр. 103.

[Konstantce]

Не, там как раз во второй части доказательства сплошная геометрия - через платоновские тела...

[nestoklon]

Konstantce в сообщении #749306 писал(а):

Как известно, любая конечная группа в $SO(3)$ имеет порядок $12$, $24$ или $60$.

ORLY?
Группа вращений вокруг оси на углы кратные $2\pi/997$ разве не является конечной подгруппой $SO(3)$ порядка 997?

[Konstantce]

Да, мой косяк.
Вот так: любая конечная подгруппа, отличная от циклической и диэдральной, имеет порядок $12$,$24$ или $60$.
Но вопрос-то всё равно в другом: ПОЧЕМУ подгруппы порядков $12$,$24$ и $60$ существуют в $SO(3)$.

[apriv]

Konstantce в сообщении #749368 писал(а):

Но вопрос-то всё равно в другом: ПОЧЕМУ подгруппы порядков $12$,$24$ и $60$ существуют в $SO(3)$.

Потому что на свете бывают диаграммы Кокстера $A_3$, $B_3$ и $H_3$.

[Konstantce]

apriv в сообщении #749379 писал(а):

Потому что на свете бывают диаграммы Кокстера $A_3$, $B_3$ и $H_3$.

А вот с этого момента можно поподробней? Где связь...

[spyphy]

Konstantce в сообщении #749368 писал(а):

Но вопрос-то всё равно в другом: ПОЧЕМУ подгруппы порядков $12$,$24$ и $60$ существуют в $SO(3)$.

в зависимости от того, что пониманиется под "ПОЧЕМУ" можно дать два ответа:
1) существуют, потому что эти подгруппы можно явно выписать: $A_4, A_5, S_4$.
2) существуют, потому что таково свойство трёхмерного мира.

[apriv]

Konstantce в сообщении #749384 писал(а):

А вот с этого момента можно поподробней? Где связь...

Конечные группы, порожденные отражениями, хорошо известны и классифицированы. Почитайте книжку типа Хамфри или Кокстера.

[Konstantce]

Цитата:

1) существуют, потому что эти подгруппы можно явно выписать: $A_4, A_5, S_4$.

Именно в этом и заключался вопрос: почему эти подгруппы изоморфны именно подгруппам симметрической группы? Как доказать это факт, не рассматривая платоновские тела и их вращения, а исключительно средствами алгебры, т.е рассматривая группу вращений как множество особых матриц или операторов?

[apriv]

Konstantce в сообщении #761637 писал(а):

Именно в этом и заключался вопрос: почему эти подгруппы изоморфны именно подгруппам симметрической группы?

Во-первых, любая конечная группа изоморфна подгруппе симметрической группы. Во-вторых, группы Кокстера на то и группы Кокстера: системе $A_n$ соответствует симметрическая группа $S_{n+1}$, а ситуация с другими системами в маленьком ранге (в нашем случае $3$) не сильно отличается, поскольку там мало свободы, и получаются знакопеременные группы.

[Konstantce]

А можно поподробнее?
Или хотя бы ссылки на книги, статьи, где можно прочитать это доказательство?
Заранее спасибо.

[VAL]

Konstantce в сообщении #761665 писал(а):

А можно поподробнее?
Или хотя бы ссылки на книги, статьи, где можно прочитать это доказательство?

Посмотрите здесь