Задача на непрерывность

[Юстас]

ewert писал(а):

Да, это верно, но только если доказать существование такой прямой (не проходящей ни через один экстремум). Это следует, например, из того, что множество локальных экстремумов не более чем счётно. Что, в свою очередь, верно, но не так уж и тривиально.

Ув. Ewert, почему это верно? Дайте ссылку на доказательство или само доказательство, если не трудно. Можно в ЛС.

[AD]

Вот тут это обсуждалось. Правда, не помню, состоялось ли там решение http://dxdy.ru/topic18512.html

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Не, не состоялось, но там говорят, что было обсуждение еще раньше.

[Юстас]

Нет, не состоялось. Ясно, что множеством локальных экстремумов может быть, например, множество Кантора. А почему бы функции не быть монотонной на множестве максимумов?

[id]

Вообще, похожая задача идет в Дьяченко "Действительный анализ в задачах" под номером 2.53.

[Юстас]

Книги этой в свободном доступе вроде нет. И что значит "похожая"?

[id]

Цитата:

Пусть $f(x)$ - функция на $(0,1)$, и для $\forall x \in (0,1) \ \exists \delta = \delta(x) >0$ такое, что $\forall t \in (x-\delta,x+\delta) \ f(x) \geqslant f(t)$ ( т.е. каждая точка интервала $(0,1)$ является точкой нестрогого локального максимума функции $f$ ). Доказать, что $Im f$ не более чем счетно.

Хотя, может, и не столь она тут похожа.

Добавлено спустя 17 минут 8 секунд:

Раз нет, приведу сразу и доказательство оттуда. Оно, кажется, переносится.

Используя $AoC$, выберем для каждого $ y \in Im f$ такую $x \in (0,1)$, что $f(x) = y$, обозначим множество таких $x$ через $A$. $\forall x \in A$ выберем пару рациональных чисел $r_1(x) < x < r_2(x)$ так, чтобы $\forall t \in (r_1(x),r_2(x))$ было выполнено $f(t) \leqslant f(x)$. Пусть $x,z \in A, \ x \neq z$. Тогда по построению $f(x) \neq f(z)$. Предположим, что $f(x) > f(z)$. Тогда если $r_1(x) = r_1(z)$ и $r_2(x) = r_2(z)$, то $f(x) \leqslant f(z)$. Проотиворечие. Таким образом, разным $x \in A$ соответствуют разные пары из $\mathbb{Q}^2$

[ewert]

Юстас в сообщении #187265 писал(а):

Ясно, что множеством локальных экстремумов может быть, например, множество Кантора.

Нет, не может. Поскольку в этой (вяло)текущей задаче речь о строгих локальных максимумах, а их количество, действительно, не более чем счётно -- для любой функции вообще.

Доказательство довольно стандартно. Окружим каждую точку строгого локального максимума произвольной симметричной окрестностью, в пределах которой значения функции строго меньше, чем в центре. Разобьём всё множество этих экстремумов на непересекающиеся классы следующим образом: отнесём к $k$-тому классу все точки, для которых длины выбранных окрестностей лежат в $[2^{-k};2^{-k+1})$. Для любых двух точек из данного класса расстояние между ними не может оказаться меньше, чем $2^{-k-1}$: в противном случае каждая из точек попадёт в окрестность другой, а хотя бы одно из этих двух включений невозможно. Следовательно, количество точек экстремума в каждом классе не более чем конечно. Ну а по всей совокупности классов -- не более чем счётно.

[nikvic]

ewert в сообщении #184944 писал(а):

Только ровным счётом ничего непосредственно отсюда не следует.

Вот именно.
Предлагаю публике помучиться дальше. Функция, удовлетворяющая условию задачи, у меня есть. Пример весьма прост.

[_Ivana]

Каюсь, не читал многолетнюю историю обсуждения, но первая мысль была $y = xsin(1/x)$

[nikvic]

Гм, с каких пор восьмёрка на боку чётна?

[ewert]

Более того, пример здесь на форуме, насколько я помню, тоже приводился, только в какой-то другой ветке. Там примерно так: бесконечная ломаная с вершинами, абсциссы которых образуют монотонную сходящуюся последовательность, а ординаты суть $0,y_1,y_3,y_1,y_3,y_2,y_4,y_2,y_4,y_3,y_5,y_3,y_5,\ldots$, где последовательность $\{y_k\}$ монотонно стремится к нулю.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #183659 писал(а):

Как доказать, что не существует такой функции \[ f \], для которой график функции имеет с любой прямой семейства чётное число общих точек?

если этих самых точек пересечения вообще конечное число. Грубо говоря, функция $f$ гомотопна линейной функции, а топологическая степень последней равна 1. Это идея, нужно проработать детали.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #761699 писал(а):

если этих самых точек пересечения вообще конечное число.

Каких именно точек пересечения конечное число?

[Dave]

Пример, а также свойство $f(a)=f(b)$ см. здесь.

[Oleg Zubelevich]

Dave в сообщении #761743 писал(а):

Пример, а также свойство $f(a)=f(b)$ с

правильно, поэтому я и говорил, что надо проработать детали. Функция с таким условием негомотопна функции вида $ax+b,\quad a\ne 0$ , поэтому ее степень не обязана быть $\pm 1$
Отсюда ,кстати, следует первый пункт задачи по ссылке