Равносильность vs Равенство

[Basil Peace]

Известно, что логическое высказывание может быть либо истинным, либо ложным, т.е. принимает одно из значений из множества $\left\{\mathbf{True}, \mathbf{False}\right\}$.
Два высказывания называются равносильными, если они истинны или ложны одновременно, т.е. принимают одинаковые (равные) значения.

Собственно вопрос: почему все пользуются обозначением $P \Leftrightarrow Q$ и никогда не пишут $P = Q$?

[ewert]

Потому, что равенство и тождество суть вещи разные.

[Xaositect]

Иногда пишут, но как правило когда работают с булевыми функциями, а не высказываниями.

В логике вообще любят различать разные мелочи. Высказывание и его истинностное значение это не одно и то же. Высказывания равносильны тогда и только тогда, когда их истинностные значения равны.

[Sonic86]

Basil Peace в сообщении #761673 писал(а):

почему все пользуются обозначением $P \Leftrightarrow Q$ и никогда не пишут $P = Q$?

Почему все пользуются обозначением $x=1\Leftrightarrow 1=x$ и никогда не пишут $x=1= 1=x$? Вопрос, конечно, интересный...

[patzer2097]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #761676 писал(а):

Basil Peace в сообщении #761673 писал(а):

почему все пользуются обозначением $P \Leftrightarrow Q$ и никогда не пишут $P = Q$?

Почему все пользуются обозначением $x=1\Leftrightarrow 1=x$ и никогда не пишут $x=1= 1=x$? Вопрос, конечно, интересный...

я бы даже отметил, что можно написать $1=2\Leftrightarrow 3=4$, но нельзя $1=2= 3=4$. Хотя почему нельзя, я вот написал...

[Basil Peace]

Sonic86 в сообщении #761676 писал(а):

Почему все пользуются обозначением $x=1\Leftrightarrow 1=x$ и никогда не пишут $x=1= 1=x$? Вопрос, конечно, интересный...

Потому что в таком случае бы писали $(x=1)= (1=x)$

-- 08.09.2013, 17:54 --

Xaositect в сообщении #761675 писал(а):

Иногда пишут, но как правило когда работают с булевыми функциями, а не высказываниями.

В логике вообще любят различать разные мелочи. Высказывание и его истинностное значение это не одно и то же. Высказывания равносильны тогда и только тогда, когда их истинностные значения равны.

Спасибо за разъяснение. Это, видимо, самый разумный ответ из всех предложенных.

[migmit]

Потому что в $(x=1)=(1=x)$ смысл центрального равенства будет не таким, как смысл двух боковых. Если мы, скажем, арифметику изучаем, то объектами нашего изучения могут быть числа, функции из чисел в числа, и те пе. "Утверждения" в объекты исследования НЕ входят (как правило).

[Someone]

migmit в сообщении #762917 писал(а):

"Утверждения" в объекты исследования НЕ входят (как правило).

И, более того, являются объектами совсем другой теории. В которой есть своё равенство, совсем не совпадающее с равносильностью утверждений

[Basil Peace]

migmit в сообщении #762917 писал(а):

Потому что в $(x=1)=(1=x)$ смысл центрального равенства будет не таким, как смысл двух боковых. Если мы, скажем, арифметику изучаем, то объектами нашего изучения могут быть числа, функции из чисел в числа, и те пе. "Утверждения" в объекты исследования НЕ входят (как правило).

Нам никто не мешает применять один и тот же знак $+$ для обозначения как арифметического сложения чисел, так и для сложения матриц, и всё в одном тексте. Хотя смысл операций похож, определяются они отдельно, в разных разделах математики. Аналогично со многими другими математическими обозначениями. Начиная, например, со скобок...
Так что не вижу рациональной причины не писать такое равенство, какое я написал. Единственная подходящая причина — так не принято и потому непонятно.

Возможно, я сужу как программист об overloaded operators. Но не вижу в этом ничего дурного.

Someone в сообщении #762942 писал(а):

migmit в сообщении #762917 писал(а):

"Утверждения" в объекты исследования НЕ входят (как правило).

И, более того, являются объектами совсем другой теории. В которой есть своё равенство, совсем не совпадающее с равносильностью утверждений

А как тогда определяется равенство в этой "совсем другой теории"?

[migmit]

Basil Peace в сообщении #763604 писал(а):

Нам никто не мешает применять один и тот же знак $+$ для обозначения как арифметического сложения чисел, так и для сложения матриц, и всё в одном тексте. Хотя смысл операций похож, определяются они отдельно, в разных разделах математики. Аналогично со многими другими математическими обозначениями. Начиная, например, со скобок...
Так что не вижу рациональной причины не писать такое равенство, какое я написал. Единственная подходящая причина — так не принято и потому непонятно.

Возможно, я сужу как программист об overloaded operators. Но не вижу в этом ничего дурного.

Если вы хороший программист, то должны знать разницу между параметрическим полиморфизмом (дженерики в Java и C#, или просто переменные-типы в Haskell и OCaml) и ad-hoc полиморфизмом (наследование, перегрузка). Использование $+$ для сложения чисел и матриц ближе к первому (всё-таки это будут объекты одной и той же теории), а использование равенства для обозначения равносильности — ко второму.

Скобки же вообще не в тему, когда мы переходим на уровень AST (а рассматривать математические выражения на более низком уровне бессмысленно), никаких скобок уже нет.