Теорема о влюблённых последовательностях

[ewert]

Если кого интересует моё скромное (даже суперскромное) мнение -- то я не знаю, как решать. Если количество предельных точек конечно, то я согласен с gris, что тут всем ежам всё понятно. Если хотя бы счётно, то тут у меня уже некоторый затык. Поскольку по сравнению с конечным случаем проблема-то вовсе не в бесконечности, а в неизолированности тех точек.

Ясно, что размерность тут совершенно не при чём, а при чём -- локальная компактность. Но вот как её пришить к делу -- никак не соображу. Ну я тупой.

[g______d]

Давайте сначала разобьем пространство на кубы со стороной $1$ с целочисленными вершинами. Потом со стороной $1/2$ и полуцелочисленными вершинами. Потом $1/4$ и т. д. Далее, на каждом шаге перечисляем все кубы, пересекающие множество предельных точек. В каждом кубе бесконечно число точек одной и другой последовательности. При рассмотрении куба берем из него пару точек одной и другой последовательности с минимальными номерами, повторяя это несколько раз. Условие перехода к следующему кубу – когда закончились все точки в том куске куба, который на следующей итерации исключится. Поскольку соответствующий кусок не может пересекаться с множеством предельных точек, число точек последовательностей там будет конечно, т. е. в каждом кубе мы проведем конечное время.

Надо только немного повозиться с замкнутостью и открытостью.

-- 07.09.2013, 21:53 --

Стоп, так у gris то же самое. В чем там ошибка? И кубы лучше сразу брать открытыми с частичным перекрытием.

[bot]

Ничего не понимаю.

(Оффтоп)

Цитата:

Две сходящиеся последовательности всегда лежат в некотором шаре.

Это я написал сразу, как увидел. Потом посмотрел картинку и подумал, что это шутка юмора такая. Поскольку я юмора не понял, то ответ стёр.

Тут серьёзно что ли? Внятную можно формулировку?

[gris]

g______d
Там проблема с предельными точками, которые лежат на границах кубов или прочих непересекающихся множеств покрытия. Если такая ПТ изолирована от остальных ПТ, то можно для неё выделить отдельную маленькую окрестность. А вот если нет? ПТ на границе опасна тем, что приписывание её к одному из кубов может нарушить основу предполагаемого доказательства: в кубе может присутствовать предельная точка, а членов последовательности вообще не быть. Или быть бесконечное число для одной последовательности и конечное для другой. Ведь последовательность может подкрадываться к ПТ со стороны чужого куба. Я пытался как-то кроить и переставлять, но не выходит

[bot]

Продолжаю не понимать

g______d в сообщении #761453 писал(а):

В каждом кубе бесконечно число точек одной и другой последовательности

С какой стати? Пусть будет два куба, в каждом по последовательности. Кубы далеко друг от друга.

[gris]

Вчера эти дела обсуждались, но мнения о формулировке разделились. Мне кажется, что я её понял сразу так, как задумывал автор. Но я не слишком пристально рассматривал картинку

Речь идёт о двух последовательностях точек. Множества их частичных пределов (предельных точек последовательностей) совпадают. Надо доказать возможность некоторой перестановки членов первой последовательности.

Если замыкания Ваших кубов не пересекаются, то множества предельных точек не будут совпадать. Если пересекаются и предельная точка лежит на этом пересечении, то да, наличие бесконечного числа членов не гарантировано. Попытки эффективного перетаскивания таких точек не удаются. Возможно, что идея с покрытием неудачна. Я было попробовал доказать от противного, но там та же самая возня с построением лишней предельной точки.

[bot]

Теперь дошло

nnosipov в сообщении #761370 писал(а):

Dave, Вы неудачно разместили вставку, так отформатированный текст вводит в заблуждение.

Текст до картинки воспринимается как полная формулировка ...

[gris]

Наконец-то и до меня дошло, в чём была причина разногласий. При первом взляде некоторые восприняли текст целиком как одну теорему, а некоторые как две различные теоремы. И, что интересно, этот первый взгляд настолько закрепился, что далнейшие споры шли о совершенно посторонних терминологических вещах. Это можно считать неким психологическим феноменом.

[ewert]

(Оффтоп)

Это какой-то необъяснимый психологический вывих. Допустим, дан текст:

Цитата:

Числа $m$ и $n$ нечётные.

Абзац.

Доказать, что их сумма -- чётная.

Можно ли первую строчку понять как отдельную теорему? Т.е. что доказать требуется нечётность любых двух чисел? Ну, при очень большом желании, наверное, можно...

Кстати, мои слова "Допустим, дан текст" тогда тоже можно принять за теорему. А что? вполне себе теорема: требуется доказать, что мы это допустим.

[bot]

(Оффтоп)

Абзац - не картинка. Она настраивает на неформальный лад.

[gris]

Обычно теоремы в учебниках формулируются с помощью слов "пусть", "если", "тогда", "то". Однако формулировки знаменитых теорем чеканны и лапидарны:

"Непрерывная на компакте функция ограничена на нём." Можно даже и "continuum ex pacto limitatur est" (прошу извинить мою латынь, есличо).
"Известное уравнение не имеет решений в натуральных числах."
"Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы."

У ТС теорема поименована, значит заявлена как одна из. То есть разные лишние слова изгоняются. Если бы он в zorich-style вставил в начале слово "Пусть", то путаницы бы не было. И если бы не слово "доказать", из-за которого вторая часть не воспринимается всерьёз.

Я сам подумал, что либо у преподавателей сейчас обострилась требовательность к четкости формулировок и терминологии, либо они видят слишком глубоко. То, что ТС может восприниматься способным допустить простой ляп, или что преподаватели сами запутались в терминах, мною с негодованием было отвергнуто.

А задача интересная. Жалко, что в выходные трудно сосредоточиться.

Прошу вышеизложенное считать шуткой .

[g______d]

gris в сообщении #761524 писал(а):

g______d
в кубе может присутствовать предельная точка, а членов последовательности вообще не быть. Или быть бесконечное число для одной последовательности и конечное для другой. Ведь последовательность может подкрадываться к ПТ со стороны чужого куба. Я пытался как-то кроить и переставлять, но не выходит

Ну хорошо. Давайте увеличим стороны всех кубов в 2 раза и сделаем их открытыми. Если предельная точка лежит внутри открытого куба, то в этом кубе бесконечно много членов обеих последовательностей.

[bot]

(Оффтоп)

Печёнкой чую - Цорном пахнет

[gris]

g______d
С открытыми кубами ничего хорошего: они или пересекаются, или не покрывают всего шара.
Интересно, а обратная теорема не легче?

[g______d]

При чем здесь весь шар? Ничего не понимаю.

Для начала давайте проясним условие. Даны две последовательности, члены которых по модулю не больше $C$. Пусть у них совпадают множества частичных пределов. Докажите, что можно упорядочить их так, чтобы их разность стремилась к нулю.

Доказательство. Пусть $X$ – множество частичных пределов. Пусть $D_k$ – множество открытых кубов с центрами в точках с координатами из $2^{-k}\mathbb Z$ и сторонами $2^{1-k}$. При каждом $k$ они покрывают $\mathbb R^3$. Пусть $E_k$ – множество кубов из $D_k$, пересекающихся с $X$. Оно конечно. Более того, в каждом кубе из $E_k$ содержится бесконечно много членов обеих последовательностей. Пусть $\cup E_k$ – объединение кубов из $E_k$.

Лемма: множество $\cup E_k\setminus \cup E_{k+1}$ конечно. Доказательство: очевидно, поскольку $\cup E_{k+1}$ является окрестностью $X$, и поэтому вообще в дополнении к $\cup E_{k+1}$ лежит конечное число членов каждой последовательности.

Продолжение доказательства исходного утверждения. Сначала проходим все кубы из $E_0$, потом все кубы из $E_1$, и т. д. Для каждого куба из $E_k$:

1. Выбираем пару элементов с минимальными номерами.
2. Если в этом кубе остались элементы из $\cup E_k\setminus \cup E_{k+1}$, то повторяем пункт 1, пока они не закончатся (их конечное число по лемме).
3. Переходим к следующему кубу.