Двугранный угол в треугольной пирамиде

[Dext]

Подскажите, двугранный угол $\alpha=\angle(ABC,ABD)$ в треугольной пирамиде $ABCD$?
Внутренний угол между гранями $ABC,ABD$.
Знаю, что нужно использовать формулу

\[\alpha = \arccos\frac{\pm|\langle \overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABC}}, \overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABD}}\rangle|}{|\overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABC}}|\cdot |\overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABD}}|}\[, где $\overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABC}}, \overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABD}}$ - направляющие векторы уравнений плоскостей граней $ABC,ABD$ соответственно.

Не понимаю, как при вычислении выбирать знак ( $+$ или $-$ )

[ewert]

Выбор знака -- это выбор согласованной пары нормальных векторов (любой из двух). Т.е. одна из нормалей должна быть внешней, другая -- внутренней. Аналитически это означает, например, что при нахождении нормалей с помощью векторных произведений в обоих случаях первым сомножителем должно быть общее ребро, а вторыми сомножителями -- рёбра, выходящие из общей вершины.

[Dext]

К примеру, известны уравнения плоскостей граней

$ABC\colon\, 9x+2x+5z-10=0,\qquad ABD\colon\, x+z=0$

и вершины $C(4,2,-6),~ D(0,0,0)$ ребра $CD$, не принадлежащего граням $ABC,ABD$.

Как в этом случае определить знак?
Какой алгоритм?

[ewert]

Найдите любой направляющий вектор $\vec v$ прямой $AB$ и любую точку $A$ на этой прямой, после чего возьмите $\vec n_1=\vec v\times\overrightarrow{AC}$ и $\vec n_2=\vec v\times\overrightarrow{AD}$, тогда будет $\cos\alpha=+\dfrac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}$ (хотя при желании можно обойтись, конечно, и без векторных произведений).

[Dext]

Нашел пример без векторных произведений: здесь (Пример 4.12).

Мне не понятно, когда там точку $N$ (середина ребра $OC$) подставляли в уравнения граней $ABC,\,OAB$, почему выбора "минуса" подошли именно знаки $<$.
Это всегда так, если определять знак в формуле по их алгоритму?

[Dext]

ewert в сообщении #761357 писал(а):

Найдите любой направляющий вектор $\vec v$ прямой $AB$ и любую точку $A$ на этой прямой, после чего возьмите $\vec n_1=\vec v\times\overrightarrow{AC}$ и $\vec n_2=\vec v\times\overrightarrow{AD}$, тогда будет $\cos\alpha=+\dfrac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}$ (хотя при желании можно обойтись, конечно, и без векторных произведений).

Дошло наконец до меня

Большое спасибо за алгоритм, программа пашет.