существенно особые точки в контуре интегрирования....

[bobb]

может подскажите что делать если в контуре интегрирования есть существенно особые точки(много).? может я невнимательно читал но Лаврентьев умалчивает про это. Заранее спасибо.

[Дмитрий Хованский]

В Лаврентьеве, как и много где еще есть теорема о вычетах:

$\int\limits_C f(z)dz = 2 \pi i \sum\limits_{k}res f(z_k) $

Здесь нигде не сказано, что особые точки не могут быть существенными, главное, чтобы в контуре лежали.

А что значит "много"?

[bobb]

Ну скажем так

$$(z-a)^{i*x}/(z-a) $$

где х - вещественное а z i a - комплексные. Точка а это полюс или сущ.особая точка? Как берется вычет в этой точке? Получается неопределенность...обьясните пожалуйста:). А под словом "много" подразумевалось что подинтегральная ф-ция состоит из произведения 8 таких выражений и хотелось бы знать общее правило взятие таких неопределенностей(без експ. подстановок). Интеграл вроде должен сходиться...

[Brukvalub]

bobb писал(а):

Ну скажем так

$$(z-a)^{i*x}/(z-a) $$

где х - вещественное а z i a - комплексные. Точка а это полюс или сущ.особая точка? Как берется вычет в этой точке?

Вы рассматриваете, вообще говоря, многозначную функцию, а изолированные особые точки и вычеты определяются для однозначных функций.

[AlexDem]

Но ведь Лаврентьев вроде определяет изолированные особые точки и для многозначных функций? (подразделяя их на алгебраические и трансцендентные - раздел 25, параграф 5).


А вот теорема Сохоцкого о поведении функции в окрестности существенно особой точки $a$ (раздел 22) - она говорит, что всегда найдётся последовательность $z_k \to a$, предел $f(z_k)$ которой при $k \to \infty$ равен любому наперёд заданному числу. С чем может быть связано такое поведение функции?

По-моему, главная часть разложения в ряд Лорана представляет собой расходящийся ряд. При том, что значение правильной части = $const$, такое поведение функции должно быть напрямую связано с поведением расходящегося ряда, представляющего главную часть. Тогда может посмотреть в сторону расходящихся последовательностей? Или здесь это ничего не даст?

[Brukvalub]

AlexDem писал(а):

А вот теорема Сохоцкого о поведении функции в окрестности существенно особой точки $a$ (раздел 22) - она говорит, что всегда найдётся последовательность $z_k \to a$, предел $f(z_k)$ которой при $k \to \infty$ равен любому наперёд заданному числу. С чем может быть связано такое поведение функции?

С тем, что особая точка - существенная особенность (см. доказательство теоремы)

AlexDem писал(а):

По-моему, главная часть разложения в ряд Лорана представляет собой расходящийся ряд.

В том кольце, в котором функция разложена в ряд Лорана, обе его части сходятся.

[AlexDem]

Довольно интересное доказательство, строящееся на факте существования функции

$$g(z) = \frac 1 {f(z) - A}$$

. Про сходимость в области разложения - тоже нашёл, спасибо! Под причиной поведения функции в окрестности особой точки я понимал что-нибудь более "осязаемое" что ли - как, например, отличие рядов (для существенно особой точки в главной части - бесконечно много членов).

А если функция $f(z)$ разлагается в кольце $0 < |z - a| < R$, и точка $a$ - существенно особая точка, то что будет с функцией:

$$g(z) = \left\{\begin{array}{l} f(z), \text{ если } z \ne a\\ const, \text{ если } z = a, \end{array} \right $$

- то есть принудительно доопределённой в точке $a$? Ведь для $g(z)$ точка $a$ перестанет быть существенно особой, но каким образом это повлияет на поведение последовательностей? Или я здесь рассуждаю неверно?..

[Brukvalub]

AlexDem писал(а):

А если функция $f(z)$ разлагается в кольце $0 < |z - a| < R$, и точка $a$ - существенно особая точка, то что будет с функцией:

$$g(z) = \left\{\begin{array}{l} f(z), \text{ если } z \ne a\\ const, \text{ если } z = a, \end{array} \right $$

- то есть принудительно доопределённой в точке $a$? Ведь для $g(z)$ точка $a$ перестанет быть существенно особой, но каким образом это повлияет на поведение последовательностей?

AlexDem писал(а):

Или я здесь рассуждаю неверно?..

Именно последнее Ваше высказывание является верным . Ведь классификация изолированных особенностей основывается на предельном поведении функции на базе проколотых окрестностей особой точки, поэтому какое-либо переопределение значения функции в самой особой точке не может изменить характера особенности (так можно только стереть стираемую особенность. но повлиять на существенную особенность таким способом нельзя).

[AlexDem]

Ну, хоть в чём-то я не ошибся .