2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 существенно особые точки в контуре интегрирования....
Сообщение28.08.2007, 13:01 
может подскажите что делать если в контуре интегрирования есть существенно особые точки(много).? может я невнимательно читал но Лаврентьев умалчивает про это. Заранее спасибо.

 
 
 
 
Сообщение28.08.2007, 17:21 
В Лаврентьеве, как и много где еще есть теорема о вычетах:

$\int\limits_C f(z)dz = 2 \pi i \sum\limits_{k}res f(z_k) $

Здесь нигде не сказано, что особые точки не могут быть существенными, главное, чтобы в контуре лежали.

А что значит "много"?

 
 
 
 
Сообщение30.08.2007, 12:30 
Ну скажем так $$(z-a)^{i*x}/(z-a) $$ где х - вещественное а z i a - комплексные. Точка а это полюс или сущ.особая точка? Как берется вычет в этой точке? Получается неопределенность...обьясните пожалуйста:). А под словом "много" подразумевалось что подинтегральная ф-ция состоит из произведения 8 таких выражений и хотелось бы знать общее правило взятие таких неопределенностей(без експ. подстановок). Интеграл вроде должен сходиться...

 
 
 
 
Сообщение30.08.2007, 16:56 
Аватара пользователя
bobb писал(а):
Ну скажем так $$(z-a)^{i*x}/(z-a) $$ где х - вещественное а z i a - комплексные. Точка а это полюс или сущ.особая точка? Как берется вычет в этой точке?
Вы рассматриваете, вообще говоря, многозначную функцию, а изолированные особые точки и вычеты определяются для однозначных функций. :shock:

 
 
 
 
Сообщение03.09.2007, 13:02 
Аватара пользователя
Но ведь Лаврентьев вроде определяет изолированные особые точки и для многозначных функций? (подразделяя их на алгебраические и трансцендентные - раздел 25, параграф 5).


А вот теорема Сохоцкого о поведении функции в окрестности существенно особой точки $a$ (раздел 22) - она говорит, что всегда найдётся последовательность $z_k \to a$, предел $f(z_k)$ которой при $k \to \infty$ равен любому наперёд заданному числу. С чем может быть связано такое поведение функции?

По-моему, главная часть разложения в ряд Лорана представляет собой расходящийся ряд. При том, что значение правильной части = $const$, такое поведение функции должно быть напрямую связано с поведением расходящегося ряда, представляющего главную часть. Тогда может посмотреть в сторону расходящихся последовательностей? Или здесь это ничего не даст?

 
 
 
 
Сообщение03.09.2007, 18:03 
Аватара пользователя
AlexDem писал(а):
А вот теорема Сохоцкого о поведении функции в окрестности существенно особой точки $a$ (раздел 22) - она говорит, что всегда найдётся последовательность $z_k \to a$, предел $f(z_k)$ которой при $k \to \infty$ равен любому наперёд заданному числу. С чем может быть связано такое поведение функции?
С тем, что особая точка - существенная особенность (см. доказательство теоремы)
AlexDem писал(а):
По-моему, главная часть разложения в ряд Лорана представляет собой расходящийся ряд.
В том кольце, в котором функция разложена в ряд Лорана, обе его части сходятся.

 
 
 
 
Сообщение04.09.2007, 13:14 
Аватара пользователя
Довольно интересное доказательство, строящееся на факте существования функции $$g(z) = \frac 1 {f(z) - A}$$. Про сходимость в области разложения - тоже нашёл, спасибо! Под причиной поведения функции в окрестности особой точки я понимал что-нибудь более "осязаемое" что ли - как, например, отличие рядов (для существенно особой точки в главной части - бесконечно много членов).

А если функция $f(z)$ разлагается в кольце $0 < |z - a| < R$, и точка $a$ - существенно особая точка, то что будет с функцией:
$$g(z) = \left\{\begin{array}{l} 
f(z), \text{ если } z \ne a\\ 
const, \text{ если } z = a, 
\end{array} \right
$$
- то есть принудительно доопределённой в точке $a$? Ведь для $g(z)$ точка $a$ перестанет быть существенно особой, но каким образом это повлияет на поведение последовательностей? Или я здесь рассуждаю неверно?..

 
 
 
 
Сообщение04.09.2007, 13:42 
Аватара пользователя
AlexDem писал(а):
А если функция $f(z)$ разлагается в кольце $0 < |z - a| < R$, и точка $a$ - существенно особая точка, то что будет с функцией:
$$g(z) = \left\{\begin{array}{l} f(z), \text{ если } z \ne a\\ const, \text{ если } z = a, \end{array} \right $$
- то есть принудительно доопределённой в точке $a$? Ведь для $g(z)$ точка $a$ перестанет быть существенно особой, но каким образом это повлияет на поведение последовательностей?

AlexDem писал(а):
Или я здесь рассуждаю неверно?..
Именно последнее Ваше высказывание является верным :D . Ведь классификация изолированных особенностей основывается на предельном поведении функции на базе проколотых окрестностей особой точки, поэтому какое-либо переопределение значения функции в самой особой точке не может изменить характера особенности (так можно только стереть стираемую особенность. но повлиять на существенную особенность таким способом нельзя).

 
 
 
 
Сообщение04.09.2007, 13:55 
Аватара пользователя
Ну, хоть в чём-то я не ошибся :).

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group