Здравствуйте! Есть такая задачка: требуется решить интегральное уравнение следующего вида:

где

- неизвестная функция,

для всех

, и

. Важно что свободный член в правой части - единица. Традиционный метод решения таких уравнений - линеаризация интеграла тем или иным способом и сведение задачи к матричному уравнению вида:

где

- столбец из

элементов-приближенных значений неизвестной функции в неких точках из интервала
![$[0,a]$ $[0,a]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/0/500488aebe892d6abe04d7ff2fb3ab6382.png)
,

- столбец из

единиц, и

- матрица

на

из элементов зависящих от ядра

. Важно, что таким образом уравнение решается для фиксированного значения

.
Пусть теперь требуется решить это уравнение для ряда значений

, допустим "близких" друг у другу. Поскольку соответствующие матрицы для значений

и

будут очень похожи, возникает вопрос можно ли зная (приближенно) решение уравнения для

упростить вычисления решения для

?
Грубо говоря, задача сводится к следующему. Пусть

и

- матрицы получаемые после линеаризации исходного уравнения для

и

соответственно. Допустим, что

и что метод линеаризации такой что матрицы связаны следующим образом:

получается из

добавлением еще одной строки снизу и еще одного столбца справа, т.е., если

- размера

на

, то

будет

на

, содержащей полностью матрицу

в левом верхнем углу. Именно такая ситуация возникает если использовать простейшую схему линеаризации интеграла с равномерным разбиением интервала
![$[0,a]$ $[0,a]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/0/500488aebe892d6abe04d7ff2fb3ab6382.png)
. Тогда вопрос такой: как использовать решение уравнения

для получения решения уравнения

? Можно и наоборот спросить: как использовать решение уравнения

для получения решения уравнения

?
Один из вариантов это предствить

как состоящую из 4 блоков: матрица

, вектора-столбца из первых

элементов последнего столбца матрицы

, затем вектора-строки из первых

элементов последней строки матрицы

и одно скаляра в правом нижнем углу матрицы

. Далее рассмотреть уравнение

для

с такой блочной структурой. Можно получить выражения для блоков матрицы обратной к

и далее в установить связь между обратными матрицами

и

. Я сделал это в МАТЛАБе, работает, но во-первых здесь система линейных уравнений решается путем вычисления обратной матрицы, что не есть хорошо, а во-вторых, здесь не используется тот факт, что правая часть исходного уравнения - столбец из единиц. Подозреваю, что это должно как-то помочь. Кроме того, известно что матрицы

и

такие что все элементы и

и

неотрицательные.
Буду признателен любой помощи.