эффективный матричный алгоритм

[ecartman]

Здравствуйте! Есть такая задачка: требуется решить интегральное уравнение следующего вида:

$$ u(x,a) = 1+\int_0^a K(x,y)\,u(y,a)\,dy, $$

где $u(x,a)$ - неизвестная функция, $K(x,y)\ge0$ для всех $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, и $a>0$. Важно что свободный член в правой части - единица. Традиционный метод решения таких уравнений - линеаризация интеграла тем или иным способом и сведение задачи к матричному уравнению вида:

$$ \boldsymbol{u}_N = \boldsymbol{1}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{u}_N, $$

где $\boldsymbol{u}_N$ - столбец из $N$ элементов-приближенных значений неизвестной функции в неких точках из интервала $[0,a]$, $\boldsymbol{1}$ - столбец из $N$ единиц, и $\boldsymbol{K}$ - матрица $N$ на $N$ из элементов зависящих от ядра $K(x,y)$. Важно, что таким образом уравнение решается для фиксированного значения $a$.

Пусть теперь требуется решить это уравнение для ряда значений $a$, допустим "близких" друг у другу. Поскольку соответствующие матрицы для значений $a_1$ и $a_2$ будут очень похожи, возникает вопрос можно ли зная (приближенно) решение уравнения для $a_1$ упростить вычисления решения для $a_2$?

Грубо говоря, задача сводится к следующему. Пусть $A_1$ и $A_2$ - матрицы получаемые после линеаризации исходного уравнения для $a_1$ и $a_2$ соответственно. Допустим, что $a_2>a_1$ и что метод линеаризации такой что матрицы связаны следующим образом: $A_2$ получается из $A_1$ добавлением еще одной строки снизу и еще одного столбца справа, т.е., если $A_1$ - размера $N$ на $N$, то $A_2$ будет $N+1$ на $N+1$, содержащей полностью матрицу $A_1$ в левом верхнем углу. Именно такая ситуация возникает если использовать простейшую схему линеаризации интеграла с равномерным разбиением интервала $[0,a]$. Тогда вопрос такой: как использовать решение уравнения $A_1x=1$ для получения решения уравнения $A_2x=1$? Можно и наоборот спросить: как использовать решение уравнения $A_2x=1$ для получения решения уравнения $A_1x=1$?

Один из вариантов это предствить $A_2$ как состоящую из 4 блоков: матрица $A_1$, вектора-столбца из первых $N$ элементов последнего столбца матрицы $A_2$, затем вектора-строки из первых $N$ элементов последней строки матрицы $A_2$ и одно скаляра в правом нижнем углу матрицы $A_2$. Далее рассмотреть уравнение $A^{-1}A=I$ для $A_2$ с такой блочной структурой. Можно получить выражения для блоков матрицы обратной к $A_2$ и далее в установить связь между обратными матрицами $A_1^{-1}$ и $A_2^{-1}$. Я сделал это в МАТЛАБе, работает, но во-первых здесь система линейных уравнений решается путем вычисления обратной матрицы, что не есть хорошо, а во-вторых, здесь не используется тот факт, что правая часть исходного уравнения - столбец из единиц. Подозреваю, что это должно как-то помочь. Кроме того, известно что матрицы $A_1$ и $A_2$ такие что все элементы и $A_1^{-1}$ и $A_2^{-1}$ неотрицательные.

Буду признателен любой помощи.

[Евгений Машеров]

Может быть, поможет метод окаймления?
http://enc-dic.com/enc_math/Okamlenija-metod-2802.html