Непрерывная биекция на n-мерный куб (условия существования)

[Руст]

Someone писал(а):

Руст писал(а):

Someone, я говорю не вообще об гомеоморфности двух подмножеств из R^n, а о гомеоморфности к конкретному (топологический достаточно простому множеству). Когомологий здесь не дадут ничего нового в таком простом случае.

Ну, это не важно. У одного из множеств группы тривиальные, но про другое-то тоже это нужно знать.

Если A гомеоморфно [0,1) это значит она стягиваема в точку, т.е. гомотопически эквивалентно точке. Стало быть все когомологии тривиальные.

[Someone]

Руст писал(а):

Если A гомеоморфно [0,1) это значит она стягиваема в точку, т.е. гомотопически эквивалентно точке. Стало быть все когомологии тривиальные.

У нас какое-то недопонимание. Речь идёт о признаке гомеоморфности. Мы знаем, что $[0,1)$ гомотопически эквивалентно точке. Мы хотим узнать, гомеоморфно ли $A$ полуинтервалу $[0,1)$. Значит, мы должны знать, что $A$ тоже гомотопически эквивалентно точке.

[Руст]

Someone писал(а):

У нас какое-то недопонимание. Речь идёт о признаке гомеоморфности. Мы знаем, что $[0,1)$ гомотопически эквивалентно точке. Мы хотим узнать, гомеоморфно ли $A$ полуинтервалу $[0,1)$. Значит, мы должны знать, что $A$ тоже гомотопически эквивалентно точке.

Если гомеорфно, то эквивалентно точке. Поэтому, можно считать последнее необходимым условием для первого.

[Someone]

Руст писал(а):

Если гомеорфно, то эквивалентно точке. Поэтому, можно считать последнее необходимым условием для первого.

Ну да, я об этом и говорю.

[Таня Тайс]

Someone писал(а):

Более интересный пример: пусть

$$X=\{(x,y)\in\mathbb R^2:2^2\leqslant x^2+y^2\leqslant3^2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:1\leqslant x\leqslant 2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:3\leqslant x\leqslant 4\}\text{,}$$

$$Y=\{(x,y)\in\mathbb R^2:2^2\leqslant x^2+y^2\leqslant3^2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:1\leqslant x\leqslant 2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:-2\leqslant x\leqslant -1\}\text{;}$$

тогда $X$ не гомеоморфно $Y$, но $X\times I$ гомеоморфно $Y\times I$.

А как в этом случае выглядят гомеоморфные пр-ва? Не пойму, почему они гомеоморфны. Спасибо.

[Someone]

Таня Тайс писал(а):

Someone писал(а):

Более интересный пример: пусть

$$X=\{(x,y)\in\mathbb R^2:2^2\leqslant x^2+y^2\leqslant3^2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:1\leqslant x\leqslant 2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:3\leqslant x\leqslant 4\}\text{,}$$

$$Y=\{(x,y)\in\mathbb R^2:2^2\leqslant x^2+y^2\leqslant3^2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:1\leqslant x\leqslant 2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:-2\leqslant x\leqslant -1\}\text{;}$$

тогда $X$ не гомеоморфно $Y$, но $X\times I$ гомеоморфно $Y\times I$.

А как в этом случае выглядят гомеоморфные пр-ва? Не пойму, почему они гомеоморфны. Спасибо.

Вы нарисуйте $X$ и $Y$ на бумажке: это кольца, к которым приклеены два отрезка. У $X$ отрезки приклеены к разным граничным окружностям, а у $Y$ - к одной, но в разных точках. Поэтому $X$ и $Y$ не гомеоморфны.
Теперь умножим $X$ и $Y$ на отрезок. Получатся две цилиндрические трубы (толстые), к которым приклеены две плоские пластины. Но граничная поверхность у трубы только одна, и ничто не мешает нам деформировать первую трубу так, чтобы пластина, приклеенная снаружи, переместилась внутрь, туда же, где она у второй трубы.
Формулами это описать, конечно, трудновато, но, по-моему, процедура достаточно наглядная.

[Mikhail Sokolov]

И все таки можно совсем простой вопрос: всякое ли открытое связное множество в $R^n$ гомеоморфно $(0,1)^n$?

[Brukvalub]

Внутренность тора не гомеоморфна открытому кубу той же размерности, поскольку их фундаментальные группы различны.

[Mikhail Sokolov]

Brukvalub
Спасибо. А если дополнительно добавить выпуклость (вернее заменить связность на выпуклость)?

[незваный гость]

Звездной выпуклости (очевидно, это более слабое свойство) должно быть достаточно. Если я не вру.

[worm2]

Mikhail Sokolov писал(а):

А если дополнительно добавить выпуклость?

Тут, наверное, даже я смогу ответить. Насколько я понимаю, это тривиальный случай. Открытое, выпуклое [даже звёздное (существует точка A внутри, из которой видна вся граница)] множество топологически эквивалентно открытому шару (схематично: сопоставляем точке A центр шара, линиям до границы - радиусы, всё должно быть взаимно однозначно и взаимно непрерывно), а значит, и $(0,1)^n$.

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

Упс, опоздал

[Mikhail Sokolov]

незваный гость, worm2
Благодарю.

[Dan B-Yallay]

Достаточно ли односвязности открытого подмножества $\mathbb R^n$ чтобы оно было гомеоморфно $(0,1)^n$ ?
/Чтобы не разбираться с выпуклостью и звездностью../

[Someone]

Dan B-Yallay писал(а):

Достаточно ли односвязности открытого подмножества $\mathbb R^n$ чтобы оно было гомеоморфно $(0,1)^n$?

Нет, конечно. Множество $\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:r^2<x^2+y^2+z^2<R^2\}$ односвязно, однако не гомеоморфно $(0,1)^n$.

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Нет, конечно. Множество $\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:r^2<x^2+y^2+z^2<R^2\}$ односвязно, однако не гомеоморфно $(0,1)^n$.

А является ли открытым в $\mathbb R^n$ указанное Вами множество ? Я так понимаю у вас $n>3$